Предложить правку

Изменения появятся на сайте после проверки администратором. Формулы — в стиле TeX между знаками $…$, оформление — Markdown.

Предмет Этап Тип Год Класс от Класс до Номер задачи Метка Название Автор

Условие (Markdown, формулы в $…$)

Решение

Какой бы ни была оптимальная траектория аппарата, чем больше времени мы имеем на её прохождение, чем меньше может быть минимальная скорость. Поэтому мы сразу считаем, что старт аппарата происходит «прямо сейчас», в нулевой момент времени.

Выразим современное расстояние до звезды:

$$r_0 = \frac{1\pi\kappa}{\pi_0,''} = 10\pi\kappa$$

и её трансверсальную скорость (компонента скорости, перпендикулярная лучу зрения, или, что то же самое, лежащая в картинной плоскости):

$$v_{\tau} = \frac{\mu, ''/{\rm rog}}{\pi_0, ''} \ {\rm a.e./rog} = 11.91 \ {\rm a.e./rog} = 56.5 \ {\rm km/c}$$

Эту же величину можно получить, записав следующую формулу:

$$v_{\tau} = 4.74 \cdot \frac{\mu}{\pi} = 56.5 \; \mathrm{km/c}$$

Лучевая скорость отрицательна, это значит, что звезда приближается к нам, и в будущем будет пролетать мимо Солнца на расстоянии, меньшем, чем 0. Поскольку трансверсальная скорость по модулю сравнима с лучевой, звезда не станет пролетать в ближайших окрестностях Солнца. Следовательно размерами области, в которой скорость зонда выходит на асимптотическое значение (максимум сотни а.е.), а также временем пребывания аппарата в этой области можно пренебречь.

![](images/psol2025reg10/5/_page_4_Picture_16.jpeg)

Рис. 1: Общая схема. Скорости звезды

Полную гелиоцентрическую скорость звезды обозначим за ⃗ (рис.1). Предложим вариант решения, в котором выражать модуль скорости или угол, образуемый ею с лучом зрения, вопреки очевидному желанию, мы не будем. Попробуем обойтись вычислением минимального количества величин.

Пусть аппарат движется со скоростью ⃗апп относительно Солнца. Тогда скорость звезды относительно аппарата будет равна разности векторов ⃗отн = ⃗ − ⃗апп (рис.2). Чтобы звезда и зонд в конечном счёте сблизились, относительная скорость звезды должна быть параллельна лучу зрения, то есть направлена от звезды на аппарат.

![](images/psol2025reg10/5/_page_5_Figure_5.jpeg)

Рис. 2: Схема с относительными скоростями.

Нам нужно найти минимальную скорость аппарата, или, с геометрической точки зрения, найти минимальный «зеленый вектор», при котором относительная скорость сонаправлена с лучевой скоростью.

Наименьший по модулю из векторов ⃗апп, удовлетворяющих нашему условию – это высота, опущенная из кончика вектора ⃗ на луч зрения (рис.3). Модуль вектора ⃗апп в этом случае равен . Таким образом, минимальная скорость аппарата, позволяющая долететь до звезды, равна = 56.5 км/с. А двигаться с такой скоростью нужно перпендикулярно начальному направлению на звезду.

![](images/psol2025reg10/5/_page_5_Figure_9.jpeg)

Рис. 3: Определение минимального значения вектора скорости

Осталось найти, сколько продлится полёт к звезде с такой минимально возможной скоростью. Из рисунка 3 можно заметить не только то, что апп = , но и что |отн| = ||, т.е. звезда будет сближаться с зондом со скоростью 97.8 км/с. Тогда мы можем легко выразить время полёта :

$$T = \frac{r_0}{v_r} = 100 \, \text{тыс.}$$
 лет

Кратко опишем альтернативное решение

![](images/psol2025reg10/5/_page_6_Picture_3.jpeg)

Запишем выражение для расстояния r(t) от наблюдателя N до произвольной точки на линии траектории звезды S через теорему косинусов:

$$r(t) = \sqrt{r_0^2 + (v \cdot t)^2 - 2 \cdot r_0 \cdot v \cdot t \cos \alpha}$$

Здесь v — полная скорость звезды, t — время, прошедшее с начального момента (момента старта),  $\alpha$  — угол между направлением скорости и лучом зрения.

Разделим выражение для расстояния на время, получим выражение для скорости аппарата:

$$v_{\text{ann}}(t) = \sqrt{\frac{r_0^2}{t^2} + v^2 - 2\frac{r_0 \cdot v \cdot t \cos \alpha}{t^2}}$$

Из треугольника скоростей выразим  $\cos \alpha = \frac{v_r}{v}$ .

$$v_{\text{апп}}(t) = \sqrt{\frac{r_0^2}{t^2} + v^2 - 2\frac{r_0 \cdot v_r}{t}}$$

Теперь нужно найти минимум этой функции. Для этого нужно взять производную по времени и приравнять ее к нулю. Поскольку звезда к нам приближается, найденный экстремум будет являться минимумом.

Сделаем замену подкорневого выражения на z

$$v_{\text{апп}}(t) = \sqrt{z(t)}$$
 
$$v'_{\text{апп}}(t) = \frac{z'(t)}{2\sqrt{z(t)}} = 0 \quad \Rightarrow \quad z'(t) = 0$$
 
$$z'(t) = -2\frac{r_0^2}{t^3} + 2\frac{r_0 \cdot v_r}{t^2} = 0$$

$$t = \frac{r_0}{v_r} = 100\,\text{тыс.}$$
 лет

Далее нужно проанализировать получившийся ответ. Если скорость сближения (относительная скорость) равна лучевой скорости звезды, то скорость аппарата должна быть равна трансверсальной скорости звезды и сонаправлена с ней.

Заметим, что альтернативное решение более требовательно к владению математикой (теорема косинусов и производные сложных функций). При этом оно дает только подсказку к вопросу нахождения направления скорости, а для полноценного ответа нужно работать с векторами.

Ответ

Критерии оценивания

|     | Критерии оценивания.                                                                | 16 |
|-----|-------------------------------------------------------------------------------------|----|
| К1. | 𝑟0
2
Определение расстояния до звезды                                         |    |
| К2. | Определение величины трансверсальной скорости2                                      |    |
| К3. | Пренебрежение временем изменения скорости в поле тяжести Солнца                     | 1  |
|     | В случае, если участник подумал, но данные размышления не записал в решение, то за  |    |
|     | данный пункт балл не выставляется. Следующие этапы оцениваются в полной мере при    |    |
|     | правильности их решения. Данный пункт оценивается только в случае его явной записи. |    |
| К4. | 𝑣𝑟
Верное направление лучевой скорости из знака
                              | 1  |
|     | Звезда приближается к Солнцу, не нужно отправлять аппарат вдогонку                  |    |
| К5. | Определение минимальной скорости аппарата                                           | 4  |
|     | Аналитическое или векторное определение условия минимума 3                          |    |
|     | 𝑣𝑚𝑖𝑛
=
𝑣𝜏
Обоснование, что
1                                            |    |
| К6. | Значение угла направления аппарата                                                  | 2  |
| К7. | Нахождение времени полета аппарата
                                              | 4  |
|     | Верное выражение для расстояния до точки встречи 1                                  |    |
|     | Верное выражение для относительной скорости 1                                       |    |
|     | Итоговый расчет2                                                                    |    |
|     | Если участник считает, что условие задачи выполняется при минимальном расстоянии    |    |
|     | К.7 - 1 балл                                                                        |    |

Темы (через запятую) Комментарий (что и почему изменено) Контакт (необязательно — email или telegram, для благодарности)

Отмена