ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 4

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный9 класс2019Есть решение редакция rv_604209ba26878d0f ID p_02b7cb5c58a7a1d0
Предложить исправление

Метеор наблюдался на поверхности Земли в обширной области радиусом 1000 км, и в двух наиболее удаленных друг от друга точках этой области он имел блеск 0m. Какова была максимальная звездная величина метеора, видимая с поверхности Земли? Длиной пути метеора, рельефом Земли, атмосферной рефракцией и поглощением света пренебречь.

Решение

Показать решение

Размер области, в которой можно наблюдать метеор, в пренебрежении рефракцией и поглощением, можно определить из геометрических соображений.

Две наиболее удаленные друг от друга точки поверхности Земли, где можно увидеть метеор, обозначены как A и B. Они равноудалены по поверхности Земли от точки O, ближайшей к метеору, где он наблюдается в зените, на расстояние L. Угол в центре Земли, образованный направлениями на метеор и точку A, равен

α = ( L / R )  рад = 0.157 рад = 9°. \alpha = (L/R) \text{ рад = 0.157 рад = 9°.}

Здесь R – радиус Земли. Расстояние от точек A и B до метеора равно

d = R operatorname t g α = 1010 operatorname к м ≈ L . d = R \operatorname{tg} \alpha = 1010 \operatorname{км} \approx L.

Расстояние от метеора до ближайшей точки Земли O – высота метеора – равна:

h = R ( 1 cos α − 1 ) ≈ 80 км. h = R \left( \frac{1}{\cos \alpha} - 1 \right) \approx 80 \text{км.}

Это значение можно получить с помощью приближенной формулы с учетом малости угла α:

h = R ⋅ ( 1 1 − α 2 / 2 − 1 ) ≈ R α 2 2 = L 2 2 R . h = R \cdot \left(\frac{1}{1 - \alpha^2 / 2} - 1\right) \approx \frac{R\alpha^2}{2} = \frac{L^2}{2R}.

Звездная величина метеора с расстояния d (или L) равна m 0 = 0 m_0 = 0 . Пренебрегая атмосферным поглощением, находим звездную величину с расстояния h:

m = m 0 − 5 lg h d = m 0 − 5 lg L 2 R ≈ − 5.5. m = m_0 - 5 \lg \frac{h}{d} = m_0 - 5 \lg \frac{L}{2R} \approx -5.5.

Из точки О метеор выглядел как яркий болид.

4. Система оценивания. Решение задания состоит из нескольких простых частей, которые можно выполнять в виде формул или численно, точно или приближенно (фактически, считая угол α \alpha в решении выше малым). Каждый подход допустим и оценивается максимально при условии правильного выполнения. Первый этап состоит в вычислении расстояния от метеора до точек A и B (или указания, что оно фактически равно заданному расстоянию L). Этот этап оценивается в 1 балл. При получении расстояния, существенно отличного от L (более чем на 100 k m 100 \, \mathrm{km} ), вне зависимости от причины ошибки этот балл не выставляется.

Вычисление расстояния от метеора до точки O (высоты метеора) оценивается в 4 балла, при этом допустимая ошибка составляет 3 км (при ошибке до 10 км оценка снижается на 2 балла). Наконец, определение звездной величины метеора оценивается еще в 3 балла. При ошибке в знаке итоговой величины ( + 5.5 m +5.5^{\rm m} в ответе) оценка уменьшается на 1 балл, если это вызвано случайными причинами при вычислении, и на 3 балла, если причиной было неверное трактование (использование формул) шкалы звездных величин участником.

Среди работ участников могут встретиться решения, где высота метеора берется как известная (80-100 км). В этом случае за первые два этапа из 5 баллов выставляется только 2 балла, второй этап оценивается полностью при условии правильного выполнения (3 балла). Максимальная оценка в этом случае составляет 5 баллов.