ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный10 класс2024Есть решение редакция rv_0101b2e8149fa665 ID p_0ff218fa7e988557
Предложить исправление

Определите максимальную продолжительность покрытия Луной планеты вместе с частными фазами при наблюдении у горизонта с полюса Земли. Для какой планеты и в какой конфигурации достигается этот максимум? Считать, что орбиты планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли лежат в одной плоскости. Помехи от Солнца при наблюдении не учитывать, орбиту Земли считать круговой

Решение

Показать решение

По условию задачи, наблюдения проводятся у горизонта с полюса Земли, поэтому движения наблюдателя за счет осевого вращения Земли нет, а расстояние от наблюдателя до Луны равно ее геоцентрическому расстоянию. В этом случае продолжительность покрытия определяется угловыми размерами Луны и планеты и угловыми скоростями их движения среди звезд по земному небу:

В течение центрального покрытия Луна в своем движении относительно планеты должна пройти угловой путь, равный сумме видимых диаметров Луны и планеты, D+d. Длительность покрытия с частными фазами составит:

T = D + d Ω − ω . T = \frac{D+d}{\Omega - \omega}.

Здесь Ω \Omega и ω \omega — угловые скорости движения Луны и планеты. В соответствии со II законом Кеплера в перигее и апогее орбиты угловая скорость Луны положительна и равна

Ω P , A = 360 o T L 1 ± e L ( 1 ∓ e L ) 3 ≈ 360 o T L ( 1 ± e L ) 2. \Omega_{\rm P,A} = \frac{360^{\rm o}}{T_{\rm L}} \sqrt{\frac{1 \pm e_{\rm L}}{(1 \mp e_{\rm L})^3}} \approx \frac{360^{\rm o}}{T_{\rm L}} (1 \pm e_{\rm L})^2.

Здесь T L T_{\rm L} — период вращения Луны по орбите, e L e_{\rm L} — эксцентриситет орбиты Луны. Видимый диаметр Луны D равен

D P , A = 2 R L ( 1 ∓ e L ) , D_{\rm P,A} = \frac{2R}{L(1 \mp e_{\rm L})},

где R — радиус Луны. Отсюда мы видим, что хотя в перигее видимый диаметр Луны больше, она будет быстрее проходить его по небу, и нам нужно рассматривать случай апогея Луны. Угловая скорость движения Луны в апогее равна Ω A = 11.82 ∘ / с у т \Omega_{\rm A} = 11.82^{\circ}/{\rm сут} .

Угловая скорость движения планеты по небу ω \omega положительна при прямом движении и отрицательна при попятном (вблизи противостояния внешних планет и нижнего соединения для внутренних).

Чтобы найти максимальную длительность явления, рассмотрим, как на нее влияют факторы угловых размеров и движения планет. Угловой размер планеты увеличивает длительность явления, но даже для планет с самыми большими видимыми размерами (около 60'' для Венеры и 50'' для Юпитера) относительный эффект (d/D) составляет порядка 0.03. Обратим внимание, что такие большие размеры Венеры и Юпитера соответствуют их попятному движению, когда величина ω \omega отрицательна и длительность покрытия уменьшается.

Эффект движения планеты может повлиять на длительность в существенно большей степени. Очевидно, нас интересует момент максимальной угловой скорости ω, который наступает в верхнем соединении планеты (помехи от Солнца мы по условию задачи не учитываем). Максимальная угловая скорость планеты достигается в ее перигелии и составляет

ω = v P + v 0 r P + a 0 = ω 0 1 + a 0 ( 1 + e ) / a ( 1 − e ) 1 + a ( 1 − e ) / a 0 . \omega = \frac{v_{\rm P} + v_{\rm 0}}{r_{\rm P} + a_{\rm 0}} = \omega_{\rm 0} \frac{1 + \sqrt{a_{\rm 0}(1+e)/a(1-e)}}{1 + a(1-e)/a_{\rm 0}}.

Здесь v и v 0 v_0 – орбитальные скорости планеты и Земли, a и a 0 a_0 – радиусы их орбит, ω 0 \omega_0 – угловая скорость движения Земли по орбите (0.986°/сут). Максимальная угловая скорость будет у Меркурия ( a / a 0 = 0.387 , e = 0.206 a/a_0=0.387,\ e=0.206 ): ω = 2.28 ∘ \omega=2.28^\circ /сут. Таким образом, этот фактор увеличивает длительность на ( ω / Ω \omega/\Omega ) ∼ 19 % \sim 19\% , что значительно больше эффекта от видимых размеров планеты. Угловой диаметр Луны для апогея равен 0.491°. В верхнем соединении угловой диаметр Меркурия составляет 5", что учитывать необязательно. Продолжительность покрытия составляет 1.24 часа.

Необходимо добавить, что в рамках условия задания такое покрытие произойдет в одной точке неба с Солнцем. Однако, продолжительность практически не изменится, если Луна и Меркурий чуть отступят на небе от Солнца, а фактор засветки по условию задания мы в расчет не принимаем. В реальности, Меркурий вблизи верхнего соединения имеет блеск до − 2 m -2^{\rm m} , есть примеры его обнаружения в телескоп в 3-5° от Солнца, так что покрытие, близкое к описанному, вполне может наблюдаться.