Задача 6
Даны координаты и собственные движения звезд из созвездия Орел на текущий момент. Задано полное собственное движение и позиционный угол его направления, отсчитываемый от направления на Северный полюс мира против часовой стрелки. Нарисуйте на графике положение этих звезд в настоящий момент и 40000 лет назад, как могли бы их видеть последние неандертальцы. Найдите угловое расстояние между звездами и Орла 40000 лет назад с точностью . Изменение системы координат, связанное с прецессией оси вращения Земли, не рассматривайте. (Е.Н. Фадеев)
Требования к графику: Построение проводятся на выданной вам миллиметровой бумаге. Масштаб по обеим осям составляет 10 угловых минут на миллиметр (малое деление на миллиметровой бумаге). Текущее положение звезд обозначайте кружком (•) и подпишите соответствующей греческой буквой справа, прошлое — крестиком (+) и соответствующей буквой слева. Направление вверх на графике должно совпадать с современным направлением на Северный полюс мира.
| Звезда | Прямое восхождение, α | Склонение, δ | Собственное движение, μ, 10 -3 ″/год | Позиционный угол, γ, ° |
|---|---|---|---|---|
| α | 19ч 50.8м | +08°52′ | 660 | 53.7 |
| β | 19ч 55.3м | +06°24′ | 485 | 175.4 |
| δ | 19ч 25.5м | +03°07′ | 268 | 72.1 |
| ζ | 19ч 05.4м | +13°52′ | 88 | 183.0 |
| θ | 20ч 11.3м | -00°49′ | 40 | 81.4 |
| λ | 19ч 06.2м | -04°53′ | 91 | 191.9 |
Решение
Показать решение
Созвездие Орла — экваториальное, в чем можно убедиться по координатам его звезд. Вблизи небесного экватора координатную сетку можно считать прямоугольной. Тогда изменения координат будут происходить линейно:
Здесь μα и μδ – собственные движения соответственно по прямому восхождению и склонению. Они могут быть получены из полного собственного движения μ и позиционного угла γ:
Здесь отражено, что позиционный угол отсчитывается от направления на север (μα=0, μδ>0) против вращения часовой стрелки (в область μα>0). Мы рассматриваем область около небесного экватора в декартовой системе, полагая cos δ0 = 1. Вычисляя эти величины и умножая их на (–40000 лет), мы определяем координаты звезд в заданную эпоху, но в современной координатной сетке, не учитывая прецессию. Важно, что собственные движения даны в угловых секундах в год, а прямые восхождения – в часовых единицах, необходим пересчет величин. Результаты наносим на график.
Для вычисления углового расстояния между звездами α и β Орла с заданной в условии точностью построения на графике недостаточно. Вычислим их координаты на исторический момент времени:
| Параметр | α Орла | β Орла |
|---|---|---|
| α | 19ч 50.8м | 19ч 55.3м |
| δ | +08°52′ | +06°24′ |
| μα, 10–3″/год | 532 | 39 |
| μδ, 10–3″/год | 391 | –483 |
| αH (40000 лет назад) | 19ч 27.2м | 19ч 53.6м |
| δH (40000 лет назад) | +04°31′ | +11°46′ |
40000 тысяч лет назад угловое расстояние между звездами было равно
Здесь мы вновь опустили фактор (cosδ0) при вычислении компоненты расстояния по прямому восхождению. Тот же ответ с точностью до 0.1° мы можем получить при более точных вычислениях с учетом фактора (1/cosδ0) в формуле для α и фактора (cosδ0) в формуле для l или с использованием формул сферической тригонометрии.
Система оценивания. Задача состоит из двух подзадач: построение графика (6 баллов) и проведение вычислений (4 балла). Каждая подзадача оценивается независимо: снижение оценки за недостатки выполнения каждой подзадачи не должны влиять на оценку за другую подзадачу. Итоговая оценка за задачу является суммой оценок за подзадачи, максимальная оценка за задание 6 составляет 10 баллов.
Положение звезд на графике должно совпадать с точностью до 3 мм. Правильное положение каждой звезды оценивается в 0.5 балла. Дробная суммарная оценка округляется в пользу
участника олимпиады. Таким образом, за правильное текущее положение звезд выставляется 3 балла и за положение в прошлом – еще 3 балла.
Если перепутаны обозначения звезд (кружки и крестики), или все звезды обозначались одним и тем же образом, оценка за построение графика снижается на 2 балла. Если не обозначены оси или никак не размечены шкалы на них, оценка за построение графика снижается на 2 балла. Если ось прямых восхождений или склонений направлена в противоположную сторону, оценка за построение снижается на 2 балла. Если в итоге получается отрицательная оценка, за этап выставляется 0 баллов. Если график выполнен не в нужном масштабе или вообще не на миллиметровке, построение не оценивается.
На втором этапе решения вычисление координат звезд в прошлом по правильным формулам оценивается в 1 балл. За правильную формулу для вычисления расстояния между звездами выставляется 1 балл. Участники могут использовать приближенные формулы для окрестностей экватора, приведенные выше. Можно производить вычисления более точно, например, с учетом фактора (cosδ0). При этом он попадает в знаменатель при расчете смещения звезды по прямому восхождению, но затем – в числитель при расчете углового расстояния, данные факторы практически компенсируют друг друга. Возможно использование формул сферической тригонометрии, хотя для данной задачи они не являются необходимыми. Вычисление расстояния между звездами α и β в прошлом оценивается в 2 балла, если ответ составляет от 9.7° до 9.9°. Если ответ не попадает в этот интервал, но остается в пределах от 9.3° до 10.3°, оценка снижается на 1 балл.
Если координаты звезд α и β численно не определяются, а ответ получен измерениями на графике (даже при его случайной точности), то за весь этап решения выставляется 1 балл из 4.