ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 1

Автор: O.C. Угольников

АстрономияРегиональныйКлассы неизвестны2019Есть решение редакция rv_2f565df836e0c8f0 ID p_153d68e6f57e2845
Предложить исправление
  • 1. Условие. В некотором пункте A в день весеннего равноденствия Солнце в верхней кульминации располагалось вдвое выше, чем в пункте B также в верхней кульминации, а его заход длился в полтора раза меньше, чем в пункте B. Найти широты обоих пунктов. Рефракцией пренебречь.

Решение

Показать решение
  • 1. Решение. В день весеннего равноденствия склонение Солнца равно нулю, и его высота над горизонтом в верхней кульминации составляет
h = 90 ∘ − | ϕ | . h = 90^{\circ} - |\phi|.

Здесь φ \varphi — широта места. При заходе за горизонт в точке запада Солнце движется под таким же углом h = 90 ∘ − | φ | h = 90^{\circ} - |\varphi| к горизонту, и продолжительность его захода равна

t = 2 ρ ω sin h . t = \frac{2\rho}{\omega \sin h}.

Здесь ω \omega — угловая скорость видимого суточного вращения Солнца, ρ \rho — его угловой радиус. По условию задачи, для пунктов A и B справедливы соотношения h A = 2 h B , t A = 2 t B / 3. h_{\rm A}=2h_{\rm B},\ t_{\rm A}=2t_{\rm B}/3. Подставим первое из них во второе:

t A t B = sin h B sin h A = sin h B 2 sin h B cos h B = 2 3 . \frac{t_A}{t_B} = \frac{\sin h_B}{\sin h_A} = \frac{\sin h_B}{2\sin h_B\cos h_B} = \frac{2}{3}.

Отсюда мы имеем cos h B = 3 / 4 \cos h_{\rm B} = 3/4 , h B = 41.4 ∘ h_{\rm B} = 41.4^\circ . Из этого мы получаем ответ на задачу:

ϕ A = ± ( 90 ∘ − 2 h B ) = ± 7.2 ∘ ; \phi_{\rm A} = \pm (90^{\circ} - 2h_{\rm B}) = \pm 7.2^{\circ};
ϕ B = ± ( 90 ∘ − h B ) = ± 48.6 ∘ . \phi_{\rm B} = \pm (90^{\circ} - h_{\rm B}) = \pm 48.6^{\circ}.

Критерии

Показать критерии
  1. Система оценивания. Для решения задачи участник должен связать высоту Солнца в верхней кульминации в день весеннего равноденствия и продолжительность его захода в этот день с широтой места или напрямую друг с другом. Эта связь оценивается в 3 балла (по 1 баллу за формулу для высоты в кульминации, формулу для длительности захода и составлении уравнения). Применение свойства синуса двойного угла либо иные способы решения уравнения и вычисление высоты Солнца в пунктах А и В оценивается еще в 3 балла (участники могут не записывать численные значения высот, а сразу переходить к широтам, что не является ошибкой и оценивается полностью).

Правильная запись ответа оценивается еще в 2 балла. Однако эти 2 балла не выставляются, если указаны только точки северного полушария с широтами 7.2° и 48.6°. Если случай южного полушария учитывается, но ответ формулируется в виде двух отдельных пар (+7.2°, +48.6°) и (-7.2°, -48.6°), то из 2 баллов выставляется только 1, так как такой ответ также неполон, точки A и B могут располагаться в разных полушариях. Правильный ответ содержит по два независимых значения широт либо указание четырех возможных пар. Участники могут округлить значения широты до 0.5° и 1°, что не является ошибкой.