ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.3 Кратные орбиты

Автор: В. Б. Игнатьев, А. Ф.Шишкина

АстрономияРегиональный10 класс2026Есть решение редакция rv_8d53d429ae39c0e4 ID p_207dcd577e7b39da
Предложить исправление

Астероид двигается по круговой орбите вокруг Солнца. В некоторой точке орбиты вследствие взрыва он разделяется на два осколка, один из которых продолжает двигаться в том же направлении, что и исходный астероид. При этом орбитальный период первого осколка становится в два раза больше орбитального периода исходного астероида, а второй осколок переходит на орбиту с периодом обращения, в два раза меньшим периода исходного астероида.

Определите отношение масс осколков.

Ответ

Показать ответ

Ответ: Отношение масс осколков – 2.1 или 9.6

Решение

Показать решение

Решение. Точка, в которой произошел взрыв астероида и разлет двух осколков, является перицентром орбиты первого осколка и апоцентром орбиты второго осколка.

Рассмотрим осколок, который продолжил двигаться в том же направлении по орбите с большим периодом. После разлета этот осколок стал двигаться быстрее, а точка разлета стала перицентром его орбиты. Запишем скорость в перицентрe

V p = G M a 1 + e 1 1 − e 1 = G M q ( 1 + e 1 ) = V 0 1 + e 1 V_p = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1+e_1}{1-e_1}} = \sqrt{\frac{GM}{q} (1+e_1)} = V_0 \sqrt{1+e_1}

0 – это скорость осколка на начальной круговой орбите, а 1 – эксцентриситет орбиты, на которую перешел осколок.

Период новой орбиты стал в 2 раза больше, значит, полуось новой орбиты стала больше в 2 2/3 раза. Для исходной орбиты астероида удаление астероида от Солнца было равно полуоси его орбиты 0, а после разлета это же расстояние стало перицентрическим расстояним новой орбиты . Выразим отсюда 1.

a 0 = q = a 1 ( 1 − e 1 ) → e 1 = 1 − a 0 a 1 = 1 − 2 − 2 / 3 = 1 − k 1 , a_0 = q = a_1(1 - e_1) \rightarrow e_1 = 1 - \frac{a_0}{a_1} = 1 - 2^{-2/3} = 1 - k_1,

здесь мы ввели обозначение 1 = 2−2/3 .

Теперь рассмотрим второй осколок. Он замедляется, следовательно, будет находится в апоцентре своей орбиты. Проведем аналогичные рассуждения.

V a = G M a 1 − e 2 1 + e 2 = G M Q ( 1 − e 2 ) = V 0 1 − e 2 V_a = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1 - e_2}{1 + e_2}} = \sqrt{\frac{GM}{Q} (1 - e_2)} = V_0 \sqrt{1 - e_2}
a 0 = Q = a 2 ( 1 + e 2 ) → e 2 = Q q 2 − 1 = 2 2 / 3 − 1 = k 2 − 1 a_0 = Q = a_2(1 + e_2) \rightarrow e_2 = \frac{Q}{q_2} - 1 = 2^{2/3} - 1 = k_2 - 1

здесь мы обозначили 2 = 22/3

Теперь запишем закон сохранения импульса. Мы можем это сделать в системе отчета центрального тела (Солнца), а можем перейти в систему отчета астероида, который распадается. Обозначим за 1 и 2 массы соответствующих осколков.

( m 1 + m 2 ) ⋅ V 0 = m 1 V p + m 2 V a (m_1 + m_2) \cdot V_0 = m_1 V_p + m_2 V_a
m 1 ( V 0 − V p ) = − m 2 ( V 0 − V a ) m_1(V_0 - V_p) = -m_2(V_0 - V_a)

Избавимся от скоростей осколков в перицентре и апоцентре их орбит, выразив их через скорость астероида на круговой орбите и эксцентриситеты орбит осколков.

m 1 V 0 ( 1 + e 1 − 1 ) = m 2 V 0 ( 1 − 1 − e 2 ) m_1 V_0(\sqrt{1+e_1}-1) = m_2 V_0(1-\sqrt{1-e_2})

Запишем выражение для отношения масс осколков:

m 1 m 2 = 1 − 1 − e 2 1 + e 1 − 1 \frac{m_1}{m_2} = \frac{1 - \sqrt{1 - e_2}}{\sqrt{1 + e_1} - 1}

Подставим e 1 e_1 и e 2 e_2 в записанное выражение:

m 1 m 2 = 1 − 2 − k 2 2 − k 1 − 1 = 1 − 2 − 2 2 / 3 2 − 2 − 2 / 3 − 1 = 2.1 \frac{m_1}{m_2} = \frac{1 - \sqrt{2 - k_2}}{\sqrt{2 - k_1} - 1} = \frac{1 - \sqrt{2 - 2^{2/3}}}{\sqrt{2 - 2^{-2/3}} - 1} = 2.1

Существует и второй вариант, который может реализоваться в этой задаче. Второй осколок может полететь по эллиптической орбите уже в обратную сторону. При этом его скорость будет направлена строго против направления скорости исходного астероида, поскольку первый осколок по условию сохраняет направление своего движения. Запишем закон сохранения импульса в этом случае.

( m 1 + m 2 ) ⋅ V 0 = m 1 V p − m 2 V a (m_1 + m_2) \cdot V_0 = m_1 V_p - m_2 V_a
m 1 ( V p − V 0 ) = m 2 ( V 0 + V a ) m_1(V_p - V_0) = m_2(V_0 + V_a)
m 1 V 0 ( 1 + e 1 − 1 ) = m 2 V 0 ( 1 + 1 − e 2 ) m_1 V_0(\sqrt{1 + e_1} - 1) = m_2 V_0(1 + \sqrt{1 - e_2})
m 1 m 2 = 1 + 2 − k 2 2 − k 1 − 1 = 1 + 2 − 2 2 / 3 2 − 2 − 2 / 3 − 1 = 9.63 \frac{m_1}{m_2} = \frac{1 + \sqrt{2 - k_2}}{\sqrt{2 - k_1} - 1} = \frac{1 + \sqrt{2 - 2^{2/3}}}{\sqrt{2 - 2^{-2/3}} - 1} = 9.63

Критерии

Показать критерии
Криитерии оценивания.16
K1.Анализ орбиты первого осколка. Нахождение эксцентриситета3
K2.Анализ орбиты второго осколка. Нахождение эксцентриситета3
оставить в виде формулы для подстановки на финальном этапе задачи. При правильной записи формул или верных численных значениях пункты 1 и 2 оцениваются полностью.
K 3.Верная запись и применение закона сохранения импульса. Случай 12
По данному критерию баллы ставятся только в том случае, если участник корректно
записал закон сохранения импульса в любой из систем отчета.
K4.Получение выражения для отношения масс. Случай 12
K5.Верная запись и применение закона сохранения импульса. Случай 22
По данному критерию баллы ставятся только в том случае, если участник корректно
записал закон сохранения импульса в любой из систем отчета.
K 6.Получение выражения для отношения масс. случай 22
K7.Запись финального ответа с двумя вариантами2
Рассмотрение только одного из вариантов может быть оценено максимум в 10 баллов, по критериям №5 — 7 в этом случае ставится 0 баллов.