Задача 2
Искусственный спутник Земли запускается с космодрома Восточный (52° с.ш., 128° в.д.). До выхода на расчетную круговую орбиту спутник движется строго вертикально (от центра Земли), а затем ему придается требуемая скорость в восточном направлении. Какой должна быть минимальная высота круговой орбиты искусственного спутника над поверхностью Земли, чтобы с любой точки земной поверхности хотя бы иногда его можно было наблюдать? Рефракцией и атмосферными помехами пренебречь.
Решение
Показать решение
- 2. Решение. По условию задачи, спутник был поднят на некоторую высоту h над поверхностью Земли, а потом получил скорость в восточном направлении. Как видно из рисунка, в этом случае точка запуска оказывается самой северной на всей круговой орбите, а наклон этой орбиты к плоскости экватора равен широте космодрома .
Сложнее всего спутник будет наблюдать с полюсов Земли. Как видно из рисунка, для того, чтобы он там все же появился хотя бы на горизонте, должно выполняться условие:
Отсюда
Очевидно, что орбитальный период спутника (2 часа) будет существенно меньше суток, и в разные моменты времени можно будет наблюдать с любой точки на Земле.
2. Рекомендации для жюри. Первым этапом решения задачи является установление факта, что орбита спутника будет наклонена к плоскости экватора на угол, равной широте
космодрома, и точка выхода на орбиту будет самой северной точкой этой орбиты. Данный вывод оценивается в 3 балла. Вычисление минимальной высоты орбиты, при которой спутник будет виден на полюсах, оценивается в 4 балла. Еще 1 балл выставляется за проверку того, что спутник будет вращаться вокруг Земли значительно быстрее, чем сама Земля вокруг своей оси. Это можно сделать, примерно оценив орбитальный период спутника или сравнив радиус орбиты с радиусом геостационарной орбиты.
Если при решении задачи участник олимпиады путает угол с углом 90°- (или функции sin и cos в итоговой формуле), то ответ в задаче получается равным 4000 км, и оценка должна быть снижена не менее, чем на 3 балла.