ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

АстрономияРегиональный10 класс2016Есть решение редакция rv_50957099fa7848c3 ID p_2a2beb88f9386326
Предложить исправление

Более 20 лет назад, в 1995 году, была открыта первая экзопланета, обращающаяся вокруг звезды 51 Пегаса. Масса звезды равна массе Солнца. На графике приведена зависимость гелиоцентрической лучевой скорости этой звезды от времени.

Оцените по этому графику массу экзопланеты, считая, что луч зрения лежит в плоскости ее орбиты.

Решение

Показать решение

По графику мы можем определить период обращения звезды (и ее планеты) вокруг общего центра масс T, он равен 4.2 суткам. Амплитуда лучевой скорости звезды ν \nu составляет 60 м/с. Мы считаем, что луч зрения лежит в плоскости орбит в системе, следовательно, полученная величина совпадает с полной скоростью звезды. Изменения лучевой скорости синусоидальные, поэтому мы можем считать орбиту круговой, а скорости – постоянными. Вычислим радиус орбиты звезды:

A = v T 2 π = 3500  km. A = \frac{vT}{2\pi} = 3500 \text{ km.}

Обозначим массы звезды и планеты как M и m, радиус орбиты планеты как a. Расстояние между компонентами системы равно

a 0 = a + A = A ( M + m ) m . a_0 = a + A = \frac{A(M+m)}{m}.

Здесь a — большая полуось орбиты планеты. Мы учли, что из определения центра масс AM = am. Из III закона Кеплера имеем:

G ( M + m ) T 2 4 π 2 = a 0 3 = A 3 ( M + m ) 3 m 3 . \frac{G(M+m)T^2}{4\pi^2} = a_0^3 = A^3 \frac{(M+m)^3}{m^3}.

Масса планеты составляет

m = ( 4 π 2 ( M + m ) 2 A 3 G T 2 ) 1 / 3 ≈ ( 4 π 2 M 2 A 3 G T 2 ) 1 / 3 = ( v 2 M 2 A G ) 1 / 3 . m = \left(\frac{4\pi^2 (M+m)^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} \approx \left(\frac{4\pi^2 M^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{v^2 M^2 A}{G}\right)^{1/3}.

Мы получаем значение 9 ⋅ 10 26 9 \cdot 10^{26} кг или половина массы Юпитера. С учетом возможного наклона орбиты планеты к картинной плоскости (при решении не рассматривалось) масса планеты может быть больше.

6. Рекомендации для жюри. Первая часть решения задания связана с анализом графика, из которого участники олимпиады должны получить значения орбитального периода (1 балл) и амплитуды лучевой скорости (1 балл), при этом допускаются отклонения от указанных выше величин в пределах 20%. Связь скорости (или радиуса орбиты) звезды, планеты и центра масс оценивается в 2 балла. Правильное применение III закона Кеплера (или формул кругового движения) оценивается еще в 2 балла. Наконец, последние 2 балла выставляются за вычисление массы экзопланеты.

Если правильное значение массы планеты дается без обоснований, то итоговая оценка не может быть более 2 баллов.