ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9/10/11.4 ПРОЛЕТАЯ ПЕРЕД СОЛНЦЕМ

Автор: К.И. Васильев / О.С. Угольников

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2023БлицЕсть решение редакция rv_55e299dd64c95646 ID p_2f5a4b9f53dcc41a
Предложить исправление

Пять малых тел Солнечной системы A, B, C, D, E пролетели между Солнцем и Землей. В это время все они двигались на небе Земли точно перпендикулярно эклиптике с угловой скоростью 3.5° в сутки. Расстояние от Солнца до этих тел в момент нижнего соединения составляло 0.1 а.е. (A), 0.3 а.е. (B), 0.5 а.е. (C), 0.7 а.е. (D), 0.9 а.е. (E). Расставьте все малые тела в порядке возрастания эксцентриситета орбит. Известно, что они все в этот момент находились на них в точках перигелия или афелия. Орбиту Земли считать круговой.

Ответ

Показать ответ

E, A, D, C, B.

Решение

Показать решение

Пусть r — расстояние малого тела от Солнца в указанный момент. Тогда его расстояние от Земли есть r 0 − r r_0 - r , где r 0 r_0 — радиус орбиты Земли. Геоцентрическая скорость тела есть ω ( r 0 − r ) \omega(r_0 - r) , где ω \omega — гелиоцентрическая угловая скорость тела, заданная в условии. Так как аппарат находится в перигелии или афелии, он не имеет продольной скорости относительно линии «Солнце — Земля» как в геоцентрической, так и в гелиоцентрической скорости. Гелиоцентрическая скорость аппарата есть его геоцентрическая скорость, сложенная с орбитальной скоростью Земли по теореме Пифагора:

v 2 = ω 2 ( r 0 − r ) 2 + v 0 2 = ω 2 ( r 0 − r ) 2 + G M r 0 . v^2 = \omega^2 (r_0 - r)^2 + v_0^2 = \omega^2 (r_0 - r)^2 + \frac{GM}{r_0}.

Так как тело находится в перигелии или афелии, его гелиоцентрическая скорость связана с эксцентриситетом как

v 2 = G M r ( 1 ± e ) . v^2 = \frac{GM}{r}(1 \pm e).

Здесь знак «+» относится к перигелию, «-» – к афелию. Формула справедлива как для эллиптических, так и параболических и гиперболических орбит. Тогда мы можем записать выражение для эксцентриситета, считая его отрицательным в случае афелия:

e = v 2 r G M − 1 = r ω 2 ( r 0 − r ) 2 G M + r r 0 − 1. e = \frac{v^2 r}{GM} - 1 = \frac{r\omega^2 (r_0 - r)^2}{GM} + \frac{r}{r_0} - 1.

Для упрощения расчетов мы можем ввести расстояние r C r_{\rm C} , на котором скорость ω \omega есть скорость движения по круговой орбите. Оно определяется как:

r C = ( G M ω 2 ) 1 / 3 = ( ω 0 ω ) 2 / 3 = 0.43 a . e . r_C = \left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^{2/3} = 0.43 \ a.e.

Здесь ω 0 \omega_0 – угловая скорость орбитального вращения Земли. Тогда для эксцентриситета мы имеем:

e = r ( r 0 − r ) 2 r C 3 + r r 0 − 1. e = \frac{r(r_0 - r)^2}{r_C^3} + \frac{r}{r_0} - 1.

Определяем величины эксцентриситета для пяти интересующих нас расстояний r:

r, а.е.e
A0.10.12
B0.31.15
C0.51.07
D0.70.49
E0.90.01

Получаем, что все пять тел находились в перигелии своих орбит, а у двух из них эти орбиты – гиперболические.

Критерии

Показать критерии

Оценка определяется числом правильных пар в ответе участника аналогично заданию 1.