Задача 3

Если бы речь шла о кратковременных наблюдениях, например, в течение одного оборота Луны вокруг Земли, то ситуация представлялась бы очевидной: этому телескопу были бы доступны звезды с селеноцентрическим склонением от $-2^{\circ}$ до $+2^{\circ}$ , что соответствует площади на небе в 1440 кв. градусов = 0.439 стерадиан или 3.5% небесной сферы. Однако при увеличении интервала наблюдений можно расширить эту область неба.

Закрыть

Как известно, плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости эклиптики (орбиты Земли) на угол $i=5^{\circ}09'$ и прецессирует относительно оси плоскости эклиптики с периодом 18.6 лет, меньшим интервала наблюдений. В то же время лунные либрации по широте имеют постоянную и чуть большую амплитуду $\lambda=6^{\circ}40'$ . Причина этих либраций вызвана тем, что ось Луны наклонена на угол $\lambda$ к нормали своей орбиты, и из-за этого в разные моменты времени мы можем наблюдать северные или южные приполярные области обратного полушария Луны. Это происходит вследствие того, что плоскость экватора Луны образует с плоскостью эклиптики угол $\beta=\lambda-i=1.5^{\circ}$ и также прецессирует с тем же периодом (фактически, это альтернативное выражение закона Кассини, сформулированного для движения Луны в 1693 году). В итоге, в различные периоды времени положение зенита для радиотелескопа будет отклоняться от эклиптики на угол 1.5°, и ему могут быть доступны объекты с эклиптической широтой b вплоть до 3.5° или 0.061 радиан. При этом эклиптическая долгота объекта в различное время может быть любой.

Так как угол b невелик, площадь кольца небесной сферы единичного радиуса между параллелями $\pm b$ может быть выражена как $4\pi b$ . Доля площади всей сферы, занимаемая этим кольцом, равна

3. Система оценивания. Основной этап задания состоит в вычислении максимального угла отклонения оси телескопа от плоскости эклиптики (или "средней плоскости лунного экватора"). Этот этап оценивается в 5 баллов, и при его выполнении возможно несколько стандартных ошибок. В частности, в качестве этого угла участники могут брать амплитуду изменения склонения Луны в небе Земли (среднюю $23.4^{\circ}$ или максимальную $28.6^{\circ}$ ), в этом случае этап полностью не засчитывается (0 баллов). В качестве амплитуды может быть взята амплитуда либрации, $6^{\circ}40'$ , или угол наклона лунной орбиты к эклиптике, $5^{\circ}09'$ , в этих двух случаях за этап выставляется 2 балла. Если в качестве этого угла берется сумма углов $\lambda$ и i, то есть около $12^{\circ}$ , за этап также выставляется 2 балла.

Еще один вариант — предположение, что плоскость лунного экватора вообще не изменяет своего положения, и угол $\beta$ равен нулю. В математическом плане это предположение достаточно близко к действительности, и в этом случае за выполнение этапа выставляется 3 балла.

На последующем этапе участники должны прибавить к углу $\beta$ величину $2^{\circ}$ (1 балл) и вычислить долю площади небесной сферы (2 балла). Таким образом, этот этап оценивается в 3 балла, которые выставляются вне зависимости от правильности выполнения первого этапа залания.