Задача 2

Автор: О.С. Угольников

Астрономия Региональный 9 класс 2021 Есть решение редакция rv_57077c3b8fc59a9f ID p_403847ab54ebd579

Жители Земли решили перенести часть земной атмосферы на Луну так, чтобы атмосферное давление на поверхности Луны было равно современному значению атмосферного давления на уровне моря на Земле. Какую часть атмосферы Земли (в процентах по массе) нужно для этого переместить на Луну? Считать толщину атмосферы существенно меньшей радиусов Земли и Луны, потери атмосферного вещества на Луне не учитывать.

Решение

Показать решение

2. Решение. Атмосферное давление у поверхности небесного тела есть вес столба атмосферы единичной площади. Так как толщина атмосферы значительно меньше радиуса тела, то атмосфера с полной массой m будет оказывать давление

p = \frac{mg}{4\pi R^2}.

Здесь R — радиус небесного тела, g — ускорение свободного падения у его поверхности. Предположим, у Луны появилась атмосфера с давлением p, равным современному атмосферному давлению у поверхности Земли. Тогда для Луны (индексы "L") и Земли (индексы "E") должно выполняться соотношение:

\frac{m_{\rm L}g_{\rm L}}{R_{\rm L}^2} = \frac{m_{\rm E}g_{\rm E}}{R_{\rm E}^2}.

Учитывая, что $g \sim M/R^2$ , мы получаем соотношение для масс атмосфер Луны (гипотетической) и Земли (настоящей):

\frac{m_{\rm L}}{m_{\rm E}} = \frac{g_{\rm E} R_{\rm L}^2}{g_{\rm L} R_{\rm E}^2} = \frac{M_{\rm E} R_{\rm L}^4}{M_{\rm L} R_{\rm E}^4} = 0.45.

Здесь $M_{\rm E}$ и $M_{\rm L}$ — массы Земли и Луны. Итак, реализация задуманной идеи потребовала бы переноса на Луну 45% массы атмосферы Земли.

2. Система оценивания. Задание может решаться разными способами, определение соотношения масс атмосфер должно учитывать два главных фактора, влияющих на давление и различающихся для Земли и Луны: площадь поверхности небесного тела и ускорение

свободного падения. Правильный учет каждого из них оценивается по 3 балла, еще 2 балла выставляется за наличие правильного ответа (с точностью $\pm 5\%$ массы атмосферы Земли).

В качестве неточных решений могут встречаться варианты учета только одного из двух факторов. Например, если считать, что давление определяется только ускорением свободного падения, тогда получается, что даже всей атмосферы Земли не хватило бы для создания требуемой атмосферы на Луне, понадобилась бы в 6 с лишним раз большая масса. И, наоборот, если считать, что давление не зависит от ускорения свободного падения, а определяется лишь массой атмосферы, то для создания лунной атмосферы потребовалось бы всего 7.5% массы атмосферы Земли. Оба таких варианта не могут быть оценены выше 3 баллов.

Еще одна неточность может быть связана с предполагаемой участниками зависимостью давления от температуры. В частности, они могут считать, что $p\sim T$ , и для атмосферы Луны может потребоваться большая масса из-за меньшей температуры. Членам жюри необходимо внимательно проверять такие решения, так как температура атмосферы может фигурировать как промежуточный параметр, что не является ошибкой. Но если итоговый ответ так или иначе зависит от температуры (в частности, он изменяется, если искусственно задать другое значение температуры атмосферы Земли и Луны, оставаясь в пределах предположения о малой толщине атмосферы по сравнению с радиусом Луны), итоговая оценка не может превышать 5 баллов и далее понижается до 4 баллов, если ответ оказывается вне интервала 40-50%, и до 3 баллов (вне интервала 30-60%).

Участник олимпиады может не разобраться в условии и определить долю массы атмосферы Земли, которую нужно перенести на Луну, чтобы атмосферное давление на Луне сравнялось с новым - уменьшенным - атмосферным давлением на Земле. Правильный ответ на такую задачу составляет 31%. Подобное решение в случае правильного выполнения оценивается в 6 баллов (по 3 балла за учет каждого из двух факторов, определяющих атмосферное давление), оценка уменьшается в случае ошибок по схеме, описанной выше.

Подборка

Задача 2

Решение