ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

АстрономияРегиональный10 класс2011Есть решение редакция rv_326e65a0fe3c52a8 ID p_41abf9e35e1fa923
Предложить исправление

Угловой диаметр звезды Бетельгейзе составляет 0.047", а ее болометрическая звездная величина -2m. Найти эффективную температуру Бетельгейзе.

Решение

Показать решение

Сравним светимости Бетельгейзе (L) и Солнца ( L 0 L_0 ), пользуясь законом Стефана-Больцмана:

L L 0 = ( R R 0 ) 2 ( T T 0 ) 4. \frac{L}{L_0} = \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \left(\frac{T}{T_0}\right)^4.

Здесь R и T – радиус и температура поверхности Бетельгейзе, R 0 R_0 и T 0 T_0 – радиус и температура поверхности Солнца. Потоки энергии от Бетельгейзе и Солнца на Земле составят

F = L 4 π D 2 ; F 0 = L 0 4 π D 0 2 . F = \frac{L}{4\pi D^2}; \quad F_0 = \frac{L_0}{4\pi D_0^2}.

Здесь D и D 0 D_0 — расстояния до Бетельгейзе и Солнца. Болометрическая звездная величина есть характеристика суммарного потока энергии от звезды во всех диапазонах электромагнитного

спектра. В соответствии с формулой Погсона разница звездных величин Бетельгейзе и Солнца равна

m − m 0 = − 2.5 lg F F 0 = − 2.5 lg L L 0 ( D 0 D ) 2 = − 10 lg T T 0 − 5 lg ( R D ⋅ D 0 R 0 ) = − 10 lg T T 0 − 5 lg ( r r 0 ) . m - m_0 = -2.5 \lg \frac{F}{F_0} = -2.5 \lg \frac{L}{L_0} \left(\frac{D_0}{D}\right)^2 = -10 \lg \frac{T}{T_0} - 5 \lg \left(\frac{R}{D} \cdot \frac{D_0}{R_0}\right) = -10 \lg \frac{T}{T_0} - 5 \lg \left(\frac{r}{r_0}\right).

Здесь r и r 0 r_0 – видимые радиусы Бетельгейзе и Солнца. Отсюда

T T 0 = ( r 0 r ) 1 / 2 10 0.1 ( m 0 − m ) . \frac{T}{T_0} = \left(\frac{r_0}{r}\right)^{1/2} 10^{0.1(m_0 - m)}.

Болометрическая звездная величина Солнца ( − 26.8 m -26.8^{\rm m} ) практически не отличается от видимой, что характерно для зеленоватых и желтых звезд. Подставляя численные значения, получаем температуру Бетельгейзе: около 3900 К.

Тот же самый результат можно получить и более простым способом. Для этого нужно вспомнить, что поверхностная яркость звезды (яркость, деленная на видимую площадь диска) не зависит от расстояния до нее и определяется только эффективной температурой звезды, точнее, пропорциональна четвертой степени температуры. Отношение поверхностных яркостей Бетельгейзе и Солнца составляет

j j 0 = ( J r 2 ) / ( J 0 r 0 2 ) = 10 0.4 ( m 0 − m ) r 0 2 r 2 . \frac{j}{j_0} = \left(\frac{J}{r^2}\right) / \left(\frac{J_0}{r_0^2}\right) = 10^{0.4(m_0 - m)} \frac{r_0^2}{r^2}.

Здесь J и J 0 J_0 — значения болометрической яркости Бетельгейзе и Солнца при наблюдении с Земли. Беря корень 4-й степени из последнего выражения, получаем ту же формулу:

T T 0 = ( r 0 r ) 1 / 2 10 0.1 ( m 0 − m ) . \frac{T}{T_0} = \left(\frac{r_0}{r}\right)^{1/2} 10^{0.1(m_0 - m)}.