ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 4

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный10 класс2022Есть решение редакция rv_0a3c674b05d4b77d ID p_44928c9afd541309
Предложить исправление

Астрономическая обсерватория будущего построена на одной из карликовых планет Солнечной системы, обращающейся по круговой орбите. Измерения положения звезды, удаленной от Солнца на 10 пк, показали, что ее параллактическое и аберрационное смещения в течение одного оборота планеты вокруг Солнца имеют одинаковые амплитуды. Найдите орбитальный период планеты, на которой построена обсерватория.

Решение

Показать решение

Амплитуда параллактического смещения звезды при наблюдении с планеты составляет

p ″ = 206265 ″ r / L = r  (a.e.) / L  (пк) , p'' = 206265'' \ r/L = r \text{ (a.e.)} / L \text{ (пк)},

где r — радиус орбиты планеты, L — расстояние до звезды. Амплитуда аберрационного смещения есть

a ″ = 206265 ″ v / c = 206265 ″ ( r / r 0 ) − 1 / 2 v 0 / c = 20.5 ″ / ( r ( a . e . ) ) 1 / 2 . a'' = 206265'' \ v/c = 206265'' \ (r/r_0)^{-1/2} \ v_0/c = 20.5''/ \ (r \ (a.e.))^{1/2}.

Здесь r 0 r_0 — радиус орбиты Земли, v 0 v_0 — орбитальная скорость Земли (29.8 км/с). По условию задачи, амплитуды одинаковы, а расстояние до звезды составляет 10 пк. Опуская обозначения единиц измерения, получаем выражение для радиуса орбиты:

r / 10 = 20.5 / r 1 / 2 ; r = 205 2 / 3 = 34.8  a.e. r / 10 = 20.5 / r^{1/2}; \quad r = 205^{2/3} = 34.8 \text{ a.e.}

Очевидно, обсерватория располагается на транснептуновом теле. Период его обращения легко определить, так как при выражении в годах он равен T = r 3 / 2 = 205 T = r^{3/2} = 205 – величине, которая была определена по ходу выкладок в предыдущей формуле.