ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

АстрономияРегиональный9 класс2016Есть решение редакция rv_a359d8e7407924c0 ID p_457ecb418208a118
Предложить исправление

На рисунке показано перемещение ярчайшей звезды ночного неба Сириус среди далеких звезд с момента начала наблюдений (годовые параллактические колебания вычтены). На рисунке заметен эффект наличия спутника этой звезды. Оцените массу этого спутника, считая ее существенно меньшей массы самого Сириуса, а орбиту – лежащей в плоскости рисунка. Масса Сириуса равна 2 массам Солнца, расстояние до него – 2.64 пк.

Решение

Показать решение

Расстояние до Сириуса равно 2.64 пк, это означает, что одна угловая секунда в плоскости рисунка соответствует расстоянию 2.64 а.е. Траектория Сириуса отличается от прямой линии из-за его вращения вокруг центра масс двойной системы. Период этого вращения T, как видно из рисунка, чуть больше 50 лет (мы вполне можем использовать это значение). По условию задачи, мы предполагаем, что вращение происходит в плоскости рисунка. Оно происходит по эллипсу. Для еще большего упрощения предположим, что линия апсид этого эллипса (линия, соединяющая точки перицентра и апоцентра) перпендикулярна собственному движению Сириуса (это близко к истине, в чем можно убедиться по примерно постоянной скорости движения звезды по своей траектории).

Проведем на рисунке прямую линию, соответствующую движению центра масс двойной системы и отметим перицентрическое ( r P ) (r_{\rm P}) и апоцентрическое ( r A ) (r_{\rm A}) расстояния Сириуса. Так как нас в дальнейшем будет интересовать только сумма этих величин, высокая точность проведения прямой не требуется (можно вообще провести две касательных к кривой и сразу искать суммарный отрезок). Большая полуось орбиты Сириуса A = ( r P + r A ) / 2 A = (r_{\rm P} + r_{\rm A})/2 составляет примерно 2.5", что соответствует 6.5 а.е. на расстоянии Сириуса. Среднее расстояние между компонентами системы равно

a 0 = a + A = A ( M + m ) m , a_0 = a + A = \frac{A(M+m)}{m},

где M и m — массы Сириуса и его спутника, a — большая полуось орбиты спутника. Здесь мы учли, что из определения центра масс AM = am. Из III закона Кеплера имеем:

G ( M + m ) T 2 4 π 2 = a 0 3 = A 3 ( M + m ) 3 m 3 . \frac{G(M+m)T^2}{4\pi^2} = a_0^3 = A^3 \frac{(M+m)^3}{m^3}.

Масса спутника Сириуса составляет

m = ( 4 π 2 ( M + m ) 2 A 3 G T 2 ) 1 / 3 ≈ ( 4 π 2 M 2 A 3 G T 2 ) 1 / 3 . m = \left(\frac{4\pi^2 (M+m)^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3} \approx \left(\frac{4\pi^2 M^2 A^3}{GT^2}\right)^{1/3}.

Здесь мы учитываем то, что масса спутника, по условию задачи, существенно меньше массы Сириуса. Масса спутника получается равной 1.5 ⋅ 10 30 1.5\cdot 10^{30} кг или 3/4 массы Солнца, что оправдывает это предположение. Реальная масса Сириуса В немного больше, она равна одной массе Солнца. Разница определяется, в основном, предположением о совпадении плоскости орбиты и плоскости рисунка и перпендикулярностью линии апсид и скорости движения центра масс.

6. Рекомендации для жюри. Первым этапом решения задачи является определение большой полуоси орбиты Сириуса по рисунку, при этом возможны значительные (до 20-30%) отклонения от приведенного выше значения. Вычисление этой величины в угловых секундах оценивается в 2 балла, еще 1 балл выставляется за ее перевод в пространственное расстояние (это возможно делать напрямую, что оценивается теми же 3 баллами). Участники олимпиады могут использовать упрощенный метод, предполагая, что линия апсид перпендикулярна

траектории движения центра масс, а могут идти более сложным путем, что (при условии правильности вычислений) не должно сказываться на оценке.

Определение орбитального периода Сириуса оценивается в 1 балл. Запись III закона Кеплера и вывод выражения для массы спутника оценивается в 2 балла. Наконец, последние 2 балла выставляются за вычисление массы спутника Сириуса.

Если правильное значение массы спутника Сириуса дается без обоснований (например, по памяти участника), то итоговая оценка не может быть более 2 баллов.