ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный9 класс2014Есть решение редакция rv_f3650c559991ba8a ID p_614f601d263bb1af
Предложить исправление

Протопланета движется по параболической траектории вблизи молодой звезды. В точке перицентра она сталкивается с другой протопланетой с такой же массой, движущейся по круговой орбите. Перед ударом скорости обеих тел были сонаправлены, а после удара оба тела слились в одно без потери массы. Найти эксцентриситет орбиты нового тела

Решение

Показать решение
  • 3. Решение. Скорости первой и второй протопланеты до столкновения были равны первой и второй космической скорости для данного расстояния до центрального тела:
v 1 = G M r ; v 2 = 2 G M r . v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}}; \quad v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{r}}.

Скорости одинаковых по массе тел были сонаправлены, и после абсолютно неупругого удара они слились в одно тело. По закону сохранения импульса, скорость нового тела будет равна среднему арифметическому скоростей исходных тел:

v = ( 2 + 1 2 ) G M r . v = \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2}\right) \sqrt{\frac{GM}{r}}.

Орбита нового тела будет эллиптической, а точка слияния – перицентром этой орбиты. Для скорости в перицентре справедливо соотношение:

v p = G M r p ( 1 + e ) . v_{\rm p} = \sqrt{\frac{GM}{r_{\rm p}}}(1+e).

Приравнивая v и v p v_p , а также r и r p r_p , получаем:

2 + 1 2 = 1 + e . \frac{\sqrt{2}+1}{2} = \sqrt{1+e}.

Эксцентриситет орбиты составит:

e = 2 2 − 1 4 = 0.46. e = \frac{2\sqrt{2} - 1}{4} = 0.46.