ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 4

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный10 класс2018Есть решение редакция rv_81a021b4bfb90b41 ID p_679924f0336444ae
Предложить исправление

Находясь в западной квадратуре, планета Марс оказалась на небе очень близко к звезде спектрального класса G. Линии в спектре Марса и звезды точно совпали по длинам волн. Найти лучевую скорость звезды относительно Солнца. Орбиты Земли и Марса считать круговыми.

Решение

Показать решение

По спектральному классу звезда похожа на Солнце, то есть, содержит примерно те же спектральные линии. В спектре Марса линии тоже, в основном, солнечные, так как планета отражает солнечный свет. Даже если в спектре Марса и будут собственные спектральные линии, они не будут смещены относительно солнечных, так как орбиту Марса по условию задачи мы считаем круговой, и расстояние между Марсом и Солнцем не изменяется. Звезда и Марс движутся относительно наблюдателя на Земле с некоторыми скоростями. Одинаковое смещение спектральных линий от эталонного положения означает, что лучевые скорости звезды и планеты равны. Изобразим положение планет, описанное в условии задачи:

В момент западной квадратуры Марса планета Земля летит в пространстве со скоростью v 1 v_1 точно по направлению к Марсу, скорость же Марса v 2 v_2 образует некоторый угол к линии "Земля-Марс". Лучевая скорость Марса в момент наблюдений с Земли составляет

V R = u 2 − v 1 = v 2 sin γ − v 1 = v 2 ( r 1 / r 2 ) − v 1. V_{\rm R} = u_2 - v_1 = v_2 \sin \gamma - v_1 = v_2 (r_1/r_2) - v_1.

Здесь r 1 r_1 и r 2 r_2 – радиусы орбит Земли и Марса. Круговые скорости планет при обращении по орбитам равны

v 1 , 2 = G M r 1 , 2 . v_{1,2} = \sqrt{\frac{GM}{r_{1,2}}}.

3десь M – масса Солнца. Поэтому для круговых скоростей справедливо соотношение:

v 2 v 1 = r 1 r 2 . \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}.

В итоге,

V R = v 1 [ ( r 1 r 2 ) 3 / 2 − 1 ] . V_R = v_1 \left[ \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{3/2} - 1 \right].

Обратим внимание, что эта скорость отрицательна, то есть Земля приближается к Марсу. Коль скоро линии в его спектре совместились с линиями в спектре звезды, геоцентрическая лучевая скорость у звезды также равна V R V_{\rm R} . Так как звезда располагается несравнимо дальше Солнца, направление от Солнца и Земли к звезде одинаковы, и искомая гелиоцентрическая лучевая скорость звезды равна

V 0 = u 2 = V R + v 1 = v 1 ( r 1 r 2 ) 3 / 2 = + 15.8  km/c . V_0 = u_2 = V_R + v_1 = v_1 \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2} = +15.8 \text{ km/c}.

Обратим внимание, что эта скорость положительна: звезда удаляется от Солнца.

4. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны указать, что геоцентрические лучевые скорости Марса и звезды совпадают, что оценивается в 2 балла. После этого участники могут вести решение способом, описанным выше, записав выражение (либо найдя численно) геоцентрическую лучевую скорость Марса (3 балла), приравнять ее к геоцентрической лучевой скорости звезды (1 балл) и вычислить гелиоцентрическую скорость звезды (2 балла). Они могут также, напрямую связать компоненту гелиоцентрической скорости Марса ( v 2 v_2 ), направленную от Земли, с гелиоцентрической скоростью звезды, что также является правильным.

Если участник олимпиады путает гелиоцентрическую и геоцентрическую лучевые скорости, получая в итоге ответ около -14 км/с, максимальная оценка не может превышать 4 баллов.

Если участник олимпиады путает восточную элонгацию с западной, что при правильных вычислениях дает ошибку в знаке итоговой скорости, итоговая оценка составляет не более 6 баллов.