Задача 3
На каких широтах на Земле высота незаходящего Солнца в течение суток может изменяться ровно в два раза? Рефракцией и видимыми размерами Солнца пренебречь.
Решение
Показать решение
По условию задачи, Солнце является незаходящим светилом, а его высота в верхней кульминации вдвое больше, чем высота в нижней кульминации (обе величины – положительные). Очевидно, картина может наблюдаться в приполярных широтах. Запишем выражения для высоты светила в верхней и нижней кульминации, справедливые для обоих полушарий Земли:
Здесь δ – склонение светила, ϕ – широта места наблюдения. По условию задачи
Отсюда мы получаем:
Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть несколько случаев, учитывая, что дело заведомо происходит вблизи полюсов Земли. Если предположить, что широта ϕ положительна, то при любых возможных склонениях Солнца (не превышающих по модулю величину ε, равную 23.4°) величина (δ + ϕ) положительна, а величина (δ – ϕ) отрицательна. Тогда мы имеем
Учитывая, что широта не может превышать 90°, а модуль склонения – величину ε, получаем, что картина, описанная в условии задачи, может наблюдаться на широтах от (90° – ε/3) до 90°, т.е. от 82.2° до 90°.
Аналогичным образом, предполагая, что широта места наблюдения отрицательна, и раскрывая знак модуля в уравнениях, получаем диапазон широт в южном полушарии: от –90° до –82.2°.