ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

Автор: А.В. Веселова

АстрономияРегиональный9 класс2024Есть решение редакция rv_6395c68631eadb03 ID p_6ca76da462a6870b
Предложить исправление

Вокруг звезды с радиусом 0.64 радиуса Солнца и температурой 3850 К по круговой орбите с радиусом 0.3 а.е. обращается кубический космический аппарат, одна грань которого представляет собой квадратную солнечную батарею с длиной стороны 40 см, ее КПД равен 15%. Аппарат должен был двигаться так, чтобы батарея всегда располагалась перпендикулярно направлению на звезду, обеспечивая максимальное энерговыделение. Однако в некоторый момент времени система ориентирования аппарата сбилась. При каком максимальном угле поворота оси батареи относительно правильного положения аппарат еще сможет функционировать, если для работы его приборов необходима мощность 20 Вт?

Решение

Показать решение

Определим, какая энергия падает ежесекундно на солнечную батарею. Для этого оценим освещенность на расстоянии 0.3 а.е. от звезды:

E = L 4 π r 2 . E = \frac{L}{4\pi r^2}.

При этом сначала необходимо определить светимость звезды. Воспользуемся законом Стефана-Больцмана:

L = 4 π R 2 σ T 4 = 4 π ⋅ ( 0.64 ⋅ 7 ⋅ 10 8 ) 2 ⋅ 5.67 ⋅ 10 − 8 ⋅ 3850 4 = 3.1 ⋅ 10 25  Bt. L = 4\pi R^2 \sigma T^4 = 4\pi \cdot (0.64 \cdot 7 \cdot 10^8)^2 \cdot 5.67 \cdot 10^{-8} \cdot 3850^4 = 3.1 \cdot 10^{25} \text{ Bt.}

Теперь оценим освещенность:

E = 3.1 ⋅ 10 25 4 π ⋅ ( 0.3 ⋅ 1.5 ⋅ 10 11 ) 2 = 1.2 ⋅ 10 3  Br/m 2. E = \frac{3.1 \cdot 10^{25}}{4\pi \cdot (0.3 \cdot 1.5 \cdot 10^{11})^2} = 1.2 \cdot 10^3 \text{ Br/m}^2.

Если бы солнечная батарея была ориентирована перпендикулярно направлению на звезду, через нее за секунду проходила бы энергия, равная

Q = E ⋅ S = E ⋅ a 2 = 1.2 ⋅ 10 3 ⋅ 0.4 2 = 192  Дж. Q = E \cdot S = E \cdot a^2 = 1.2 \cdot 10^3 \cdot 0.4^2 = 192 \text{ Дж.}

С учетом КПД, на функционирование аппаратуры оставалось бы 192 ⋅ 0.15 = 29 192 \cdot 0.15 = 29 Дж. Таким образом, при правильной ориентации КА в пространстве его приборы получали бы P 0 = 29 P_0 = 29 Вт мощности и могли бы работать. Если ось аппарата отклонится на угол γ \gamma , мощность работы батареи уменьшится до P = P 0 ⋅ cos γ P = P_0 \cdot \cos \gamma . Остается определить предельный угол γ \gamma , при которой мощность уменьшится до граничного значения 20 Вт:

γ = arccos ( 20 / 29 ) ≈ 45 ∘ . \gamma = \arccos(20/29) \approx 45^{\circ}.