9.7 Жил на свете добрый жук

Автор: Е. Н. Фадеев

Астрономия 9 класс 2026 Есть решение редакция rv_de4383c04cc002ed ID p_6f150bda92b78e39

В таблице приведены результаты наблюдений визуально-двойной звезды: порядковый номер и дата наблюдения, угловое расстояние между компонентами и позиционный угол менее яркого компонента (откладывается от направления на север к востоку). Известно, что параллакс двойной равен 0.133′′, а масса большего компонента равна 1.5 массы Солнца. Система координат соответствует эпохе J2000.0.

1. На листе миллиметровой бумаги постройте видимую орбиту менее яркого компонента относительно более яркого так, как она видна на небе;
1. Определите период обращения (в годах), большую полуось (в астрономических единицах), эксцентриситет и наклон плоскости орбиты к картинной плоскости, а также массу меньшего компонента (в массах Солнца).

№	Дата	′′ 𝜌,	∘ 𝛾,	№	Дата	′′ 𝜌,	∘ 𝛾,
1	29.09.1902	3.4	55.6	9	29.01.1950	5.8	284.0
2	10.12.1905	2.8	68.3	10	04.10.1957	6.2	292.0
3	18.11.1910	1.8	105.2	11	22.11.1972	6.7	305.4
4	20.10.1913	1.5	148.0	12	18.10.1978	6.8	310.2
5	01.10.1919	2.4	217.1	13	04.11.1992	7.0	321.1
6	26.08.1923	3.1	236.1	14	25.10.2001	7.0	327.9
7	14.01.1929	4.0	251.9	15	11.12.2003	7.0	329.5
8	17.11.1933	4.5	261.8	16	07.11.2024	6.8	345.5

Решение

Показать решение

Решение. Нанесем на миллиметровую бумагу точку ¹ — положение более массивной звезды. Поскольку позиционный угол отсчитывается от направления на север, направим полярную ось вверх. Тогда на рисунке восток окажется справа, то есть позиционный угол надо откладывать против часовой стрелки.

Отметив все 16 положений второй звезды, обнаруживаем, что ее траектория представляет окружность (рис. 1). Однако точка ¹ располагается заметно в стороне от центра окружности . Если бы мы видели движение по круговой орбите, расположенной в картинной плоскости, то ¹ находилась бы в центре окружности. Раз этого не происходит, остается сделать вывод, что действительная орбита эллиптическая, но она наклонена к картинной плоскости так, что проекция большой оси совпадает по величине с малой осью. Проекция фокуса орбиты ¹ оказывается на отрезке, соединяющем точки 4 и 14, то есть этот отрезок — проекция большой оси орбиты.

Нарисуем орбиту и ее проекцию сбоку (рис. 2). При проецировании апоастр орбиты переходит в точку 14, периастр — в точку 4, фокус в точку 1. Поскольку отрезок ¹ параллелен отрезку 4, отсекаемые ими отрезки на орбите и ее проекции будут пропорциональны. Проще всего на чертеже измерить расстояния между точками ¹ и 4 и точками 4 и 14. Обозначим их соответственно как и . Тогда

\frac{x}{y} = \frac{r_p}{2a} = \frac{a(1-e)}{2a} = \frac{1-e}{2} \implies e = 1 - 2\frac{x}{y} \approx 0.65.

Рис. 1: Видимая орбита двойной звезды.

В точках 4 и 14 вторая звезда проходит периастр и апоастр своей орбиты. Время между этими событиями равно половине орбитального периода звезды. Наблюдения проводились почти точно с интервалом в 88 лет, поэтому искомый период равен P=176 лет.

Из рисунка 2 видно, что наклон плоскости орбиты к картинной плоскости i равен

i = \arccos \frac{b}{a} = \arccos \frac{a\sqrt{1 - e^2}}{a} = \arccos \sqrt{1 - e^2} \approx 40^\circ.

Зная параллакс двойной $\pi''$ , легко найти расстояние до нее:

D = \frac{1}{\pi''} \approx 7.5 \,\text{nk}.

Тогда величина малой полуоси орбиты в линейной мере

b = \frac{\rho_4 + \rho_{14}}{2}D = \frac{1.5'' + 7''}{2} \cdot 7.5 \text{ пк} \approx 32 \text{ a. e.}

Рис. 2: Проекция орбиты.

Здесь $\rho_4$ и $\rho_{14}$ — расстояния до соответствующих точек из таблицы в условии. Величина большой полуоси равна

a = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2}} = \frac{32 \text{ a. e.}}{\sqrt{1 - 0.65^2}} \approx 42 \text{ a. e.}

Зная большую полуось и период обращения, можно определить сумму масс компонет с помощью третьего закона Кеплера:

\frac{M_1 + M_2}{M_{\odot}} = \frac{a^3}{1 \text{ a. e.}^3} \cdot \frac{1 \text{ год}^2}{P^2} \approx 2.39.

Тогда масса второго компонента равна $M_2 = 2.39 M_{\odot} - 1.5 M_{\odot} = 0.89 M_{\odot}$ .

Критерии

Показать критерии

	Критерии оценивания.	25
	Если ответ дан не в требуемой размерности, оценка снижается на 1 балл.
К1.	Построение орбиты3
	Орбита — окружность, большая звезда не в центре 2
	Правильная ориентация орбиты 1
К2.	Интерпретация графика4
	Орбита эллиптическая и только проецируется в окружность 2
	Малая полуось не изменена проекцией 1
	Определение направления большой полуоси 1
К3.	Определение эксцентриситета	3
	Сделаны правильные измерения на графике 1
	Правильный способ вычисления 1
	Должен включать доказательство того, что вычисляется эксцентриситет реальной орбиты.
	Получено правильное значение 1
К4.	Определение наклона	3
	Правильные измерения на графике и/или правильный способ вычисления2
	Получено правильное значение 1
К5.	Расстояние до двойной	1
К6.	Определение периода3
	Правильно выбраны точки для определения части периода 2
	Получено правильное значение 1
К7.	Определение линейных размеров орбиты	4
	Найден центр орбиты1
	Измерен радиус орбиты в угловой мере 1
	Малая полуось в линейной мере 1
	Необходимо показать, что радиус видимой орбиты — малая полуось. Если линейный раз
	мер видимой орбиты назван большой полуосью, за К7 не более 2 баллов.
	Большая полуось в линейной мере 1
К8.	Определение массы второй звезды	4
	Суммарная масса системы: формула и ее правильное применение 1
	Суммарная масса системы: значение 1
	Значение массы второй звезды 2
	Если для вычисления массы используются ошибочные значения большой полуоси или
	периода — штраф 1 балл.
	Масса меньше 0 или больше 1.5𝑀⊙ — штраф 2 балла.

Подборка

9.7 Жил на свете добрый жук

Решение

Критерии