ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

Автор: М. В. Кузнецов

АстрономияРегиональный9 класс2023Есть решение редакция rv_954e68b31515d1f7 ID p_705ae632f02ded76
Предложить исправление

На поверхности Солнца появилось стационарное экваториальное пятно. Для его изучения был запущен на орбиту вокруг Солнца космический аппарат так, чтобы он находился постоянно над этим пятном. В силу конструкции аппарата передавать данные он может только в противоположную от точки наблюдения сторону, а угол поля зрения (диаграмма направленности) антенны составляет θ = 3 ∘ \theta = 3^{\circ} . С каким промежутком времени и как долго на Земле можно будет принимать сигнал от этого спутника? Орбиты аппарата и Земли считать круговыми. Плоскость орбиты Земли считать совпадающей с плоскостью экватора Солнца и плоскостью орбиты аппарата. Период осевого вращения Солнца составляет 24.47 суток.

Решение

Показать решение

Экваториальный период обращения Солнца составляет 24.47 суток. Следовательно, ровно с таким же периодом должен делать оборот вокруг Солнца аппарат. Для наступления момента, благоприятного для связи, необходимо нахождение на одной прямой Солнца, аппарата и Земли. Эта конфигурация для Земли будет соответствовать нижнему соединению аппарата с Солнцем. Время между двумя последовательными нижними кульминациями аппарата равно его синодическому периоду. Найдём его:

1 S A = 1 T A − 1 T ⊕ , S A = T A T ⊕ T ⊕ − T A = 365.2564 ⋅ 24.47 365.2564 − 24.47 = 26.23 суток . \frac{1}{S_{\rm A}} = \frac{1}{T_{\rm A}} - \frac{1}{T_{\oplus}}, \quad S_{\rm A} = \frac{T_{\rm A} T_{\oplus}}{T_{\oplus} - T_{\rm A}} = \frac{365.2564 \cdot 24.47}{365.2564 - 24.47} = 26.23 \, \text{суток}.

Здесь T A T_{\rm A} – экваториальный период обращения Солнца, а T ⊕ T_{\oplus} – сидерический период Земли. Теперь определим ту часть орбиты, которая будет благоприятна для связи аппарата с Землей. Для этого необходимо определить радиус орбиты аппарата, для чего воспользуемся третьим законом Кеплера:

T A 2 T e l l 2 = a A 3 a e l l 3 , \frac{T_{\rm A}^2}{T_{\rm ell}^2} = \frac{a_{\rm A}^3}{a_{\rm ell}^3},

где a ⊕ a_{\oplus} – радиус орбиты Земли. Выразим расстояние от аппарата до Солнца:

a A = a ⊕ ( T A T ⊕ ) 2 3 = 1.5 ⋅ 10 8 ( 24.47 365.2564 ) 2 3 ≈ 24.7 M Л H . км. a_{\rm A} = a_{\oplus} \left(\frac{T_{\rm A}}{T_{\oplus}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1.5 \cdot 10^8 \left(\frac{24.47}{365.2564}\right)^{\frac{2}{3}} \approx 24.7 \,\mathrm{MЛH} \text{. км.}

Воспользуемся системой координат, в которой Солнце и аппарат неподвижны, а Земля движется вокруг Солнца с периодом S A S_{\rm A} . Проходя через диаграмму направленности антенны θ \theta , Земля поворачивается на угол α < θ \alpha < \theta вокруг Солнца (см. рисунок). Пусть l — дуга земной орбиты, облучаемая антенной. В силу малости угла α \alpha можно принять, что расстояние от аппарата до Земли во время передачи не меняется и равно a ⊕ a_{\oplus} — a A a_{\rm A} . Тогда можно записать два соотношения:

l a ⊕ = α ∘ 57.3 ∘ , l a ⊕ − a Δ = θ ∘ 57.3 ∘ . \frac{l}{a_{\oplus}} = \frac{\alpha^{\circ}}{57.3^{\circ}}, \qquad \frac{l}{a_{\oplus} - a_{\Delta}} = \frac{\theta^{\circ}}{57.3^{\circ}}.

Исключим l из уравнений, поделив первое на второе:

a ⊕ − a A a ⊕ = α ∘ θ ∘ , \frac{a_{\oplus}-a_{\mathrm{A}}}{a_{\oplus}}=\frac{\alpha^{\circ}}{\theta^{\circ}},

откуда

α ∘ = θ ∘ a ⊕ − a A a ⊕ = 3 ∘ ⋅ 150 ⋅ 10 6 − 24.7 ⋅ 10 6 150 ⋅ 10 6 ≈ 2.5 ∘ . \alpha \circ = \theta \circ \frac{a_{\oplus} - a_{A}}{a_{\oplus}} = 3 \circ \cdot \frac{150 \cdot 10^{6} - 24.7 \cdot 10^{6}}{150 \cdot 10^{6}} \approx 2.5 \circ.

Следовательно, время приёма сигнала с аппарата на Земле составит долю от полного синодического периода:

τ = S A α ∘ 360 ∘ = 26.23 2.5 ∘ 360 ∘ = 0.18  суток ≈ 4.4  часа. \tau = S_A \frac{\alpha^{\circ}}{360^{\circ}} = 26.23 \frac{2.5^{\circ}}{360^{\circ}} = 0.18 \text{ суток} \approx 4.4 \text{ часа.}