ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 1

АстрономияРегиональный10 класс2016Есть решение редакция rv_48f1eff08f621d6d ID p_7b4b3362609dff80
Предложить исправление

Астроном проводит визуальные наблюдения в телескоп с увеличением 10 крат. Определите максимально возможную звездную величину самых слабых звезд, которые он может увидеть.

Решение

Показать решение

Нас интересует предельно возможная звездная величина, поэтому будем считать, что атмосферные эффекты (размытие, поглощение, фон неба) не сказываются на наблюдениях. Обозначим диаметры объектива и зрачка человеческого глаза как D и d 0 d_0 . Диаметр выходного пучка света от звезды d будет равен D / Γ D/\Gamma , где Γ \Gamma увеличение, создаваемое окуляром телескопа. Если диаметр выходного пучка будет не больше, чем d 0 d_0 (увеличение не меньше равнозрачкового Γ ≥ D / d 0 \Gamma \ge D/d_0 ), то в глаз наблюдателя попадет весь свет, собранный объективом. Обозначив поток энергии от звезды до попадания в телескоп как F 0 F_0 , запишем выражение для количества энергии, зарегистрированной наблюдателем в единицу времени:

J = F 0 π D 2 4 = F 0 π d 0 2 4 ( D d 0 ) 2 = J 0 ( D d 0 ) 2 , D ≤ d 0 Γ . J = F_0 \frac{\pi D^2}{4} = F_0 \frac{\pi d_0^2}{4} \left(\frac{D}{d_0}\right)^2 = J_0 \left(\frac{D}{d_0}\right)^2, \quad D \le d_0 \Gamma.

Здесь J 0 J_0 — количество энергии от звезды, которое за то же время зарегистрирует невооруженный глаз. Если увеличение будет меньше, чем D / d 0 D/d_0 , выходной зрачок d будет больше зрачка глаза d 0 d_0 , и не вся энергия, собранная телескопом, попадет в глаз наблюдателя. Он зарегистрирует ее лишь часть:

J = F 0 π D 2 4 ( d 0 d ) 2 = π d 0 2 4 ( D d ) 2 = J 0 Γ 2 , D > d 0 Γ . J = F_0 \frac{\pi D^2}{4} \left( \frac{d_0}{d} \right)^2 = \frac{\pi d_0^2}{4} \left( \frac{D}{d} \right)^2 = J_0 \Gamma^2, \quad D > d_0 \Gamma.

Получается, что при фиксированном увеличении Γ \Gamma для телескопов с малыми диаметрами объектива D количество собранного света будет возрастать пропорционально D 2 D^2 , пока не достигнет величины J 0 Γ 2 J_0\Gamma^2 . Дальнейший рост диаметра объектива не будет изменять величину J, так как она уже будет описываться второй формулой. В итоге, телескоп поможет различить объекты в Γ 2 \Gamma^2 раз более слабые, чем человеческий глаз. Предельная звездная величина составит

m = m 0 + 2.5 lg Γ 2 = m 0 + 5 lg Γ = 11. m = m_0 + 2.5 \lg \Gamma^2 = m_0 + 5 \lg \Gamma = 11.

3десь m 0 m_0 — предельная звездная величина для невооруженного глаза.

1. Рекомендации для жюри. Задачу можно решать несколько разными способами, однако в любом случае нужно показать, что существуют два возможных случая, в одном из которых количество энергии от звезды возрастает до определенного уровня, а в другом — остается на этом уровне. Рассмотрение каждого из случаев оценивается по 3 балла. Окончательный вывод и вычисление предельной звездной величины оценивается в 2 балла. Эти 2 балла

выставляются в качестве окончательной оценки, если в решении сразу записывается последняя формула без обоснования. Участники олимпиады могут брать в качестве предельной звездной величины для невооруженного глаза значения от 5 m 5^{\rm m} до 7 m 7^{\rm m} , в противном случае оценка снижается на 1 балл.