10.9 Сгорел на работе

Автор: В.Б. Игнатьев, Д.Ф. Гасымов

Астрономия 10 класс 2025 Есть решение редакция rv_966c5e83153c9ba4 ID p_7ca5861b7c3b93f5

На приложенном графике представлены зависимости от времени светимости двух звёзд на стадии главной последовательности. Нижний график построен для Солнца при его текущем химическом составе, а верхний график – для звезды с массой $1 M_{\odot}$ , которая образовалась на ранних этапах эволюции Вселенной и обладала значительно меньшей металличностью.

А. Чему равна масса водорода в Солнце, который к настоящему моменту уже преобразовался в гелий?
В. Какая масса водорода преобразуется в гелий в Солнце за всё время нахождения его на главной последовательности?
С. Чему равны массовые и количественные доли водорода и гелия в Солнце, когда оно выйдет со стадии главной последовательности?
D. Какая масса водорода преобразуется в гелий за всё время жизни звезды с массой 1 $M_{\odot}$ , если она образовалась в ранней Вселенной и обладала низкой металличностью?

Рис. 4: Светимость звезд с массой 1 $M_{\odot}$ на стадии главной последовательности, Z – металличность звезды

Для Солнца можно считать, что массовая доля водорода при образовании звезды составляла 70%, а массовая доля гелия — 30%. Наличием других элементов в звёздах, потерей массы

за счет звёздного ветра и других эффектов пренебречь. Масса протона составляет $1.6726 \cdot 10^{-27}$ кг, масса ядра гелия – $6.6447 \cdot 10^{-27}$ кг.

Решение

Показать решение

Решение.

В звездах типа Солнца водород превращается в гелий в результате ядерных реакций, называемых р-р циклом. В ходе одного такого цикла 4 протона превращаются в ядро гелия и выделяется энергия, подавляющая часть которой уносится излучением. Здесь и далее энергией, которую уносят 2 нейтрино за один цикл, пренебрежем.

Получим эту величину из данных, приведённых в условии задачи:

\Delta E = \Delta m \cdot c^2 = (4m_p - m_{HE}) \cdot c^2 = 4.1 \cdot 10^{-12} \text{ Дж.}

Рассмотрим представленные графики. Площадь под кривой равна суммарной энергии, высвеченной звездой за время жизни на главной последовательности. Определим эту энергию для Солнца (нижняя кривая) за время 4.8-4.9 миллиарда лет и за всё время его нахождения на ГП. Современный возраст Солнца можно получить из графика, найдя время, при котором L=1 $L_{\odot}$ .

Обратим внимание, что шкала по вертикальной оси имеет логарифмическую природу, поэтому данные с неё надо снимать аккуратно. Вероятная ошибка участника — это предположение, что светимость линейно растет со временем. Для наглядности предоставим график (рис. 5) в линейном масштабе на котором явно видно, что данное предположение не является верным.

Для вычисления площади разобьём логарифмическую кривую на несколько более-менее узких интервалов и определим площадь каждого как

S_i = \frac{L_i + L_{i-1}}{2} \cdot \Delta t_i

Номер	$L_i$	$L_{i-1}$	t	$\Delta t$	$S_i$
1	0.75	0.7	1	1	0.725
2	0.8	0.75	2	1	0.775
3	0.85	0.8	3	1	0.825
4	0.93	0.85	4	1	0.89
5	1	0.93	4.8	0.8	0.72
6	1.05	1	5	0.2	0.20
7	1.1	1.05	6	1	1.075
8	1.2	1.1	7	1	1.15
9	1.32	1.2	8	1	1.285
10	1.5	1.32	9	1	1.41
11	1.7	1.5	10	1	1.6

Отметим, что светимости здесь выражены в единицах светимости Солнца, а время – в миллиадрах $(10^9)$ лет.

Суммируем значение площадей каждого столбца. За время жизни Солнца (4.8 миллиарда лет) площадь под кривой графика будет равна 3.935 ≈ 3.9 светимостей Солнца за 1 миллиард

Рис. 5: Данные по светимости в линейном масштабе

лет. Переведём это в джоули и получим полную высвеченную энергию $E_1$

E_1 = 3.9 \cdot 3.88 \cdot 10^{26} \cdot 3.15 \cdot 10^{16} = 4.8 \cdot 10^{43} \text{ Дж}

Число актов р-р цикла будет равно

N_1 = \frac{E_0}{4.1 \cdot 10^{-12} \ \text{Дж}} = \frac{4.6 \cdot 10^{44} \ \text{Дж}}{4.1 \cdot 10^{-12} \ \text{Дж}} \approx 1.16 \cdot 10^{55} \ \text{актов}

А число протонов, преобразованных в гелий, будет в четыре раза больше:

N_{01} = 4N_1 = 4.66 \cdot 10^{55} \text{ протонов}

Изначально в Солнце 70% массы было в виде атомов водорода. Поэтому исходное их количество равно

N_0 = \frac{0.70 M_{\odot}}{m_n} = \frac{0.7 \cdot 2 \cdot 10^{30}}{1.67 \cdot 10^{-27}} = 8.4 \cdot 10^{56} \text{ атомов}

Оценим массу водорода, которая преобразовалась в гелий в Солнце к настоящему моменту:

M_{H|HE} = N_{01} \cdot m_p = 4.66 \cdot 10^{55} \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} = 7.8 \cdot 10^{28} \text{ Kr} = 3.9\% \ M_{\odot}

Полный интеграл под всей кривой равен 10.725 (светимостей Солнца за миллиард лет). Тогда число протонов, которые были преобразованы на Солнце в атомы гелия за всё время существования на ГП, равно

N_1 = 4 \frac{E_1}{4.1 \cdot 10^{-12} \ \text{Лж}} = 4 \cdot \frac{10.725 \cdot 3.88 \cdot 10^{26} \cdot 3.15 \cdot 10^{16}}{4.1 \cdot 10^{-12} \ \text{Лж}} = 1.27 \cdot 10^{56} \ \text{mt}.

Тогда масса водорода, преобразованного в гелий, будет

M_{H|HE} = N_1 \cdot m_p = 2.04 \cdot 10^{29} \text{ Kg} = 10.6\% \ M_{\odot}.

Следовательно, массовые доли водорода и гелия в Солнце при выходе из $\Gamma\Pi$ будут составлять 59.4% и 40.6% соответственно.

Проделаем ту же самую операцию для звезды, которая образовалась в ранней Вселенной. Такая звезда обладала меньшей металличностью, её светимость была заметно больше, а время жизни на главной последовательности — заметно меньше.

Номер	$L_i$	$L_{i-1}$	t	$\Delta t$	$S_i$
1	1.75	1.5	1	1	1.67
2	2.0	1.75	2	1	1.88
3	2.4	2.0	3	1	2.2
4	3.0	2.4	4	1	2.7
5	4	3.0	5	1	3.5
6	4.8	4	5.5	0.5	2.2

Площадь под кривой равна 14.15 светимостей Солнца за миллиард лет. Переведём эту величину в джоули:

E_2 = 14.15 \cdot 3.88 \cdot 10^{26} \cdot 3.15 \cdot 10^{16} = 1.7 \cdot 10^{44} \text{ Дж.}

Число протонов, которые были преобразованы в атомы гелия, равно

N_2 = 4 \frac{E_2}{4.1 \cdot 10^{-12} \text{ Лж}} = 4 \cdot \frac{14.15 \cdot 3.88 \cdot 10^{26} \cdot 3.15 \cdot 10^{16}}{4.1 \cdot 10^{-12} \text{ Лж}} = 1.7 \cdot 10^{56} \text{ протонов,}

что соответствует массе преобразованного в гелий водорода

M_{H|HE} = N_2 \cdot m_p = 2.8 \cdot 10^{29} \text{ Kp} = 14\% \ M_{\odot}

Наконец, ответим на вопрос C про количественную долю атомов водорода и гелия. Запишем отношение массовых долей водорода и гелия для Солнца при уходе с главной последовательности:

\frac{N_H m_p}{N_{HE} m_{HE}} = \frac{59.4\%}{40.6\%}

Выразим отсюда отношение числа атомов водорода к числу атомов гелия:

\frac{N_H}{N_{HE}} = \frac{59.4\%}{40.6\%} \cdot \frac{m_{He}}{m_p} \approx 5.85.

Следовательно, количественная доля атомов водорода в Солнце будет равна $\eta_H=5.85/6.85\approx85\%$ , а гелия $\eta_{HE}=1/6.85\approx15\%$ .

Критерии

Показать критерии

$\mathbf{K}\mathbf{p}\mathbf{i}$	итерии оценивания.	25
	При оценивании данной задачи пропагации ошибок нет.
K1.	Определение энергии, которая выделяется при одном акте р-р цикла	1
K2 .	Утверждение, что площадь под кривыми – это полная излучённая энергия	2
K 3.	Снятие точек с диаграммы для Солнца	3
	Пункт оценивается, если снятые с графика значения верны.
	Снято 5 и более точек
	ИЛИ снято 3-4 точки
	ИЛИ снято 2 точки
K4.	Определена полная излучённая энергия Солнца до настоящего момента	3
	Верно использован возраст Солнца в диапазоне $4.5-5.0$ миллиардов лет
	Получена энергия $E_1$ в джоулях или в электронвольтах
K5.	Определена массовая доля водорода в Солнце, уже превратившегося в гелий	2
	Определено число актов р-р цикла1
	Получен численный ответ $3.9\% \pm 0.2\%$
K 6.	Определена полная излучённая энергия Солнца за все время на ГП	2
K7.	Определена массовая доля водорода в Солнце, которая превратится в гелий	$\dots 2$
K8.	Снятие точек с диаграммы для низкометалличной звезды	3
	Снято 5 и более точек
	ИЛИ снято 3-4 точки
	ИЛИ снято 2 точки
K9.	Определена полная излучённая энергия звезды за всё время на $\Gamma\Pi$	2
$\mathbf{K10}$	`<ol>` `<li>`Определена массовая доля водорода в звезде, который превратится в гелий`</li>` `</ol>`	2
K11	. Определена количественная доля водорода в звезде, который превратится в гелий	3
	Приведен корректный способ связи массовых и количественных долей
	Получено верное значение доли для атомов водорода и гелия

Подборка

10.9 Сгорел на работе

Решение

Решение.

Критерии