Задача 6

Плоскость орбиты Луны образует сравнительно небольшой угол с плоскостью орбиты Земли (плоскостью эклиптики), поэтому при наблюдении с Земли Луна может закрывать собой звезды, находящиеся неподалеку от линии эклиптики на небесной сфере. Определим максимальное угловое расстояние между эклиптикой и звездой, покрываемой Луной.

Закрыть

Пусть линия, связывающая центры Земли и Луны, образует угол i с плоскостью эклиптики, а расстояние между Землей и Луной равно L. На рисунке показаны условия покрытия звезды с максимальным удалением от эклиптики $\beta$ . Это покрытие будет видно из одной точки Земли. Из рисунка видно, что

причем

Здесь R и r – радиусы Земли и Луны. В итоге,

Нас интересует максимальное значение угла $\beta$ . Поэтому в данную формулу нужно поставить максимальную величину угла i, равную наклонению лунной орбиты к плоскости эклиптики (5.15°) и минимальное значение расстояния L, соответствующее перигею орбиты Луны (356 тыс. км). Значение угла $\beta$ составляет 6.45° или 0.113 радиан.

Как известно, лунная орбита прецессирует вокруг полюса эклиптики с периодом 18.6 лет, вращается и ее линия апсид. Поэтому за определенный период времени может произойти покрытие Луной любой звезды, находящейся к эклиптике ближе, чем на угол $\beta$ . Иными словами, звезды, покрываемые Луной, занимают на небесной сфере пояс вокруг линии эклиптики толщиной в $2\beta$ (см. рисунок).

Закрыть

По нашему предположению, звезды заполняют небесную сферу равномерно. Тогда нам нужно вычислить площадь указанного пояса. Так как угол $\beta$ невелик, пояс можно считать цилиндрическим, и его площадь составит

Радиус небесной сферы здесь принят за единицу. Из всех звезд небесной сферы, видимых невооруженным глазом (их число N) в данный пояс попадает часть, соответствующая доле площади небесной сферы S, попадающей в пояс. Число звезд, у которых мы можем наблюдать покрытия Луной, равно