ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.2 Школа навигаторов

Автор: В. Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный9 класс2026Есть решение редакция rv_09a3d57f32654808 ID p_81122f999e01299f
Предложить исправление

В школе юных навигаторов два друга обсуждали свои экзаменационные космические полеты. Каждый из них должен стартовать с Земли, посетить поочередно две звезды и вернуться на Землю. Вася выбрал две звезды видимой звездной величины 4 m 4^m , а Петя — звезды 3 m 3^m и 5 m 5^m . Известно, что угловое расстояние между каждой парой звезд на небесной сфере составляет 90 ∘ 90^\circ . Все четыре звезды имеют одинаковую светимость, а тренировочные космолеты — одинаковую скорость. Определите, чей маршрут окажется короче и во сколько раз. Межзвездным поглощением света пренебречь.

Ответ

Показать ответ

Ответ. Маршрут Васи короче примерно в 1.15 раза.

Решение

Показать решение

Решение. Маршрут космолета представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами на Земле и двух выбранных звездах. Длина всего пути равна сумме сторон этого треугольника.

Поскольку светимости звезд одинаковые, различие в их звездных величинах кроется только в разных расстояниях до них. По определению разница в одну звездную величину соответствует отношению освещенностей 10 0.4 ≈ 2.512 10^{0.4}\approx 2.512 . Освещенность, создаваемая звездой, обратно пропорциональна квадрату расстояния до звезды. Пусть l 4 l_4 — расстояние от Земли до звезды с видимой звездной величиной 4 m 4^m . Тогда расстояние до звезды 5 m 5^m равно

l 5 = 10 0.4 l 4 = 10 0.2 l 4 , l_5 = \sqrt{10^{0.4}} l_4 = 10^{0.2} l_4,

а до звезды 3 m 3^m —

l 3 = 10 − 0.2 l 4. l_3 = 10^{-0.2} l_4.

Рассмотрим маршрут Васи (см. рисунок). Его длина составляет

L 1 = l 4 + l 4 + 2 l 4 = ( 2 + 2 ) l 4. L_1 = l_4 + l_4 + \sqrt{2}l_4 = (2 + \sqrt{2})l_4.

На маршруте Пети один катет равен l 5 l_5 , второй — l 3 l_3 , а гипотенуза — l 5 2 + l 3 2 \sqrt{l_5^2 + l_3^2} . Тогда длина всего петиного маршрута

L 2 = l 5 + l 3 + l 5 2 + l 3 2 = 10 0.2 l 4 + 10 − 0.2 l 4 + 10 0.4 l 4 2 + 10 − 0.4 l 4 2 = l 4 ( 10 0.2 + 10 − 0.2 + 10 0.4 + 10 − 0.4 ) . L_2 = l_5 + l_3 + \sqrt{l_5^2 + l_3^2} = 10^{0.2}l_4 + 10^{-0.2}l_4 + \sqrt{10^{0.4}l_4^2 + 10^{-0.4}l_4^2} = l_4 \left(10^{0.2} + 10^{-0.2} + \sqrt{10^{0.4} + 10^{-0.4}}\right).

Вычислим отношение длин двух маршрутов:

L 2 L 1 = 10 0.2 + 10 − 0.2 + 10 0.4 + 10 − 0.4 2 + 2 ≈ 1.15. \frac{L_2}{L_1} = \frac{10^{0.2} + 10^{-0.2} + \sqrt{10^{0.4} + 10^{-0.4}}}{2 + \sqrt{2}} \approx 1.15.

Критерии

Показать критерии
Критерии оценивания.16
К1.Расстояния до звезд8
𝑚 соответствует отношение освещенностей 2.512 1
1
Разности
−2
∝
𝑙
Освещенность
1
Расстояния до звезды каждого типа: по 2 балла за тип 6
К2.Длина пути Васи2
К3.Длина пути Пети3
К4.Выводы3
Оценивается только при правильном предыдущем решении.
Какой путь короче1
Во сколько раз2