ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

АстрономияРегиональный10 класс2014Есть решение редакция rv_5bc4ac0d246916f3 ID p_812410a60537350b
Предложить исправление

Вокруг далекой звезды по круговым орбитам обращаются две планеты. У одной из них орбитальный период вдвое больше, а сферическое альбедо вдвое меньше, чем у другой планеты. При этом средняя температура поверхностей обеих планет одинакова. Найдите сферическое альбедо обеих планет. Тепловые эффекты от недр и атмосфер планет не учитывать.

Решение

Показать решение

Обозначим через a 1 , 2 a_{1,2} и T 1 , 2 T_{1,2} радиусы орбит и периоды обращения двух планет. В соответствии с III законом Кеплера

a 1 a 2 = ( T 1 T 2 ) 2 / 3 = 2 2 / 3 . \frac{a_1}{a_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{2/3} = 2^{2/3}.

Если пренебречь тепловыми эффектами от недр и атмосфер планет, то равенство средних температур обеих планет означает равенство притока энергии от центральной звезды на эти планеты. Запишем данное соотношение:

J 1 J 2 = 1 − A 1 a 1 2 ⋅ a 2 2 1 − A 2 = 1. \frac{J_1}{J_2} = \frac{1 - A_1}{a_1^2} \cdot \frac{a_2^2}{1 - A_2} = 1.

Здесь учтено, что часть энергии, идущей от звезды, определяемая величиной альбедо A 1 , 2 A_{1,2} , отражается от планеты и не идет на ее нагрев. Учитывая, что 2 A 1 2A_1 = A 2 A_2 , получаем:

( a 1 a 2 ) 2 = 2 4 / 3 = 1 − A 1 1 − 2 A 1 . \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = 2^{4/3} = \frac{1 - A_1}{1 - 2A_1}.

В итоге,

A 1 = 2 4 / 3 − 1 2 7 / 3 − 1 = 0.375 ; A 2 = 2 7 / 3 − 2 2 7 / 3 − 1 = 0.75. A_1 = \frac{2^{4/3} - 1}{2^{7/3} - 1} = 0.375; \quad A_2 = \frac{2^{7/3} - 2}{2^{7/3} - 1} = 0.75.