ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный10 класс2019Есть решение редакция rv_3a9b747ffc9e3c74 ID p_8338073a4d9dc4cf
Предложить исправление

Две малые планеты обращаются по круговым орбитам в том же направлении, что и Земля. Их синодические периоды одинаковы, а радиусы орбит отличаются вчетверо. Найти эти радиусы орбит.

Решение

Показать решение

Обозначим радиусы орбит двух планет (в астрономических единицах) как R 1 , 2 R_{1,2} . Тогда для периодов их обращения вокруг Солнца T 1 , 2 T_{1,2} (в годах) справедливо соотношение:

T 2 T 1 = ( R 2 R 1 ) 3 / 2 = 4 3 / 2 = 8 ≡ K . \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{3/2} = 4^{3/2} = 8 \equiv K.

Все планеты вместе с Землей обращаются вокруг Солнца в одну сторону. Равные синодические периоды планет 1 и 2 могут быть в том случае, если одна из них (1, с меньшим расстоянием от Солнца) внутренняя, а вторая — внешняя. Период обращения Земли вокруг Солнца T 0 T_0 равен 1 году, поэтому для синодического периода мы имеем:

1 S = 1 T 1 − 1 T 0 = 1 T 0 − 1 T 2 ; K T 2 − 1 = 1 − 1 T 2 . \frac{1}{S} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_2}; \quad \frac{K}{T_2} - 1 = 1 - \frac{1}{T_2}.

Отсюда мы получаем значение орбитального периода планет в годах:

T 2 = K + 1 2 = 9 2 ; T_2 = \frac{K+1}{2} = \frac{9}{2};
T 1 = T 2 K = K + 1 2 K = 9 16 . T_1 = \frac{T_2}{K} = \frac{K+1}{2K} = \frac{9}{16}.

Теперь мы можем найти радиусы орбит планет в астрономических единицах:

R 1 = T 1 2 / 3 = ( 9 16 ) 2 / 3 = 0.68  a.e; R_1 = T_1^{2/3} = \left(\frac{9}{16}\right)^{2/3} = 0.68 \text{ a.e;}
R 2 = T 2 2 / 3 = ( 9 2 ) 2 / 3 = 2.72  a.e. R_2 = T_2^{2/3} = \left(\frac{9}{2}\right)^{2/3} = 2.72 \text{ a.e.}
    1. Система оценивания. Решение задачи разбивается на основные этапы:
    1. Вычисление соотношения орбитальных периодов планет (2 балла). Это эквивалентно правильной записи (1 балл) и применению (1 балл) 3-го закона Кеплера;
    1. Указание на то, что одна из планет должна быть внутренней, а другая внешней (1 балл);
    1. Вычисление самих периодов, исходя из равенства синодических периодов (3 балла);
    1. Получение правильных числовых значений радиусов орбит планет (по 1 баллу за каждый ответ).

Все этапы можно выполнять как в общем виде, так и численно. В случае незначительных арифметических ошибок оценка за данный этап уменьшается на 1-2 балла, если же ошибки ведут к заведомо абсурдному ответу (например, периоды обеих планет одновременно больше или одновременно меньше одного года, радиусы орбит одновременно больше либо одновременно меньше одной астрономической единицы) — выставляется 0 баллов за текущий и последующие этапы решения.