ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.8 Танцы с Бубном

Автор: В. В. Красоткина, В.Б. Игнатьев

Астрономия10 класс2025Есть решение редакция rv_217d8058916889fe ID p_83b212f43bb51fbb
Предложить исправление

На диаграмме ниже показано положение белого карлика Сириус В относительно главного компонента системы (Сириус А). Определите период обращения, эксцентриситет, большую полуось орбиты системы и дату прохождения его через перицентр. Известно, что параллакс Сириуса составляет 0.378′′, сумма масс системы равна 3.08⊙, а угол между лучом зрения и нормалью к плоскости орбит системы = 43∘ .

Решение

Показать решение

Решение.

Для начала восстановим положение центра эллипса. Для этого проведём несколько пар параллельных прямых через центры отрезков, образованных пересечением эллипса с прямыми (на графике – пунктирные линии). Их пересечение даст точку центра эллипса. Изменения положения Сириуса В происходят относительно главной звезды, поэтому точка (0, 0) соответствует точке фокуса.

При проецировании эллипса на картинную плоскость все соотношения линейных размеров сохраняются. Тогда из данной картинки мы можем найти отношение двух величин, зависящих от эксцентриситета истинного эллипса: например, отношение фокального расстояния к апоцентрическому расстоянию. Расстояния между точками находим по теореме Пифагора, используя их координаты:

c Q = a 0 e 0 a 0 ( 1 + e 0 ) = C F M F = 4.14 11.23 \frac{c}{Q} = \frac{a_0 e_0}{a_0 (1 + e_0)} = \frac{CF}{MF} = \frac{4.14}{11.23}

Отсюда

e 0 = 0.58 e_0 = 0.58

Теперь воспользуемся знанием стереометрии:

S = S 0 cos i S = S_0 \cos i

Площадь проекции плоской фигуры равна площади истинной фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. Ниже для справки приведено доказательство этого факта, которое не требуется приводить в решении задачи.

Рассмотрим проецируемую фигуру – треугольник , сторона которого АС лежит в плоскости проекции (или параллельна плоскости проекции ). Угол между плоскостью и треугольником обозначим за .

B B ′ ⊥ α ; B B ′ ∩ α = B ′  – проекция точки  B  на плоскость  α BB'\perp \alpha;\ BB'\cap \alpha=B' \text{ – проекция точки } B \text{ на плоскость } \alpha

– высота △. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ′ является высотой △′.

B ′ D = B D cos i B'D = BD\cos i
S A B C = 1 2 A C ⋅ B D , S A B ′ C = 1 2 A C ⋅ B ′ D ⇒ S A B ′ C S A B C = B ′ D B D S_{ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BD, \ S_{AB'C} = \frac{1}{2}AC \cdot B'D \ \Rightarrow \ \frac{S_{AB'C}}{S_{ABC}} = \frac{B'D}{BD}

Тогда

S A B ′ C S A B C = cos i \frac{S_{AB'C}}{S_{ABC}} = \cos i

Рассмотрим проецируемую фигуру – треугольник , ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции и не параллельна ей. Угол между плоскостью и треугольником обозначим за .

B B ′ ⊥ α ; B B ′ ∩ α = B ′  – проекция точки  B  на плоскость  α BB'\perp \alpha;\ BB'\cap \alpha=B' \text{ – проекция точки } B \text{ на плоскость } \alpha
A A ′ ⊥ α ; A A ′ ∩ α = A ′  – проекция точки  A  на плоскость  α AA' \perp \alpha; \ AA' \cap \alpha = A' \text{ – проекция точки } A \text{ на плоскость } \alpha

A B ∩ α = M AB\cap \alpha=M – пересечение прямой AB с плоскостью α \alpha

S A B C = S M B C − S M A C , S A ′ B ′ C = S M B ′ C − S M A ′ C S_{ABC} = S_{MBC} - S_{MAC}, \ S_{A'B'C} = S_{MB'C} - S_{MA'C}

Из первой части доказательства делаем вывод:

S M B ′ C = S M B C cos i , S M A ′ C = S M A C cos i S_{MB'C} = S_{MBC} \cos i, \quad S_{MA'C} = S_{MAC} \cos i

Тогда

S A ′ B ′ C = S M B C cos i − S M A C cos i = S A B C cos i S_{A'B'C} = S_{MBC}\cos i - S_{MAC}\cos i = S_{ABC}\cos i

Для произвольных фигур это равенство можно доказать, приближая их многоугольными фигурами.

Тогда справедливо соотношение

S 0 S = π a 0 2 1 − e 0 2 π a 2 1 − e 2 = 1 cos i , tag 1 \frac{S_0}{S} = \frac{\pi a_0^2 \sqrt{1 - e_0^2}}{\pi a^2 \sqrt{1 - e^2}} = \frac{1}{\cos i},\tag{1}

в котором все величины с индексом 0 соответствуют истинному эллипсу, а без индекса – видимому (проекции). Параметры видимого эллипса мы можем найти из прямых измерений и теоремы Пифагора:

a = 7.31 ″ , b = 4.52 ″ , e = 0.79 a = 7.31'', b = 4.52'', e = 0.79

Тогда из (1) легко находится истинное значение большой полуоси в угловых единицах:

a 0 = 7.52 ″ a_0 = 7.52''

Зная параллакс, найдем линейный размер полуоси системы:

a l = a 0 ⋅ 1 π = 19.89  a.e. a_l = a_0 \cdot \frac{1}{\pi} = 19.89 \text{ a.e.}

Период найдем из III закона Кеплера:

T 2 4 π 2 = a l 3 G M Σ ⇒ T = 2 π a l 3 G M Σ = 50.63  года. \frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{a_l^3}{GM_\Sigma} \; \Rightarrow \; T = 2\pi \sqrt{\frac{a_l^3}{GM_\Sigma}} = 50.63 \text{ года.}

Дату прохождения апоцентра снимем с графика: примерно 18.02.1970. Сооответственно, дата следующего прохождения перицентра — 12.06.1995 (через половину периода системы). С этого момента T=50.63 года пройти не успело, следовательно, данное прохождение перицентра было последним на данный момент.

Критерии

Показать критерии
Критерии оценивания.25
К1.Построение. Определение центра эллипса5
К2.Построение. Определение положения центральной звезды2
К3.Определение значения эксцентриситета5
К4.Определение значения большой полуоси8
Описание метода расчёта через отношение площадей эллипсов 3
Определение полуоси в угловых секундах 3
Определение полуоси в астрономических единицах 2
К5.Определение периода системы2
К6.Определение момента прохождения перицентра3
Определение точек апоцентра и перицентра 1
Определение даты прохождения апоцентра 1
Определение даты прохождения перицентра 1