ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

АстрономияРегиональный9 класс2016Есть решение редакция rv_d37b18e9c630bdee ID p_8912ee5957401812
Предложить исправление

9 января 2016 года Венера, обгоняя Землю в своем орбитальном движении ровно на 90 градусов, вступила в небе Земли в тесное соединение с Сатурном. Определите, в какой день 2016 года Сатурн при наблюдении с Земли вступит в противостояние с Солнцем. Орбиты всех планет считать круговыми.

Решение

Показать решение

Изобразим положение трех планет в момент соединения Венеры и Сатурна в небе Земли:

Венера обгоняет Землю в своем орбитальном движении на 90°. Обратим внимание, что Венера не находится в наибольшей элонгации (она произошла в октябре 2015 года). Угловое расстояние Венеры (и Сатурна) от Солнца в небе Земли 9 января равно:

α = arctan r V r = 35.9 ∘ . \alpha = \arctan \frac{r_{\rm V}}{r} = 35.9^{\circ}.

Здесь r и r V r_{\rm V} — радиусы орбит Земли и Венеры. Для дальнейшего решения задачи нам необходимо найти расстояние от Земли до Сатурна D в этот момент. Это можно сделать с помощью теоремы косинусов, можно упростить вычисления, проведя перпендикуляр от Солнца на линию "Земля-Сатурн", обозначив его l. Искомое расстояние составит

D = r 2 − l 2 + R 2 − l 2 = r cos α + R 2 − r 2 sin 2 α ≈ r cos α + R . D = \sqrt{r^2 - l^2} + \sqrt{R^2 - l^2} = r \cos\alpha + \sqrt{R^2 - r^2 \sin^2 \alpha} \approx r \cos\alpha + R.

Здесь R — радиус орбиты Сатурна. В последнем равенстве мы учли, что величина r 2 sin 2 α r^2 \sin^2 \alpha составляет менее 0.01 от R 2 R^2 . Расстояние до Сатурна получается равным 10.34 а.е. (если не делать упрощения, оно получится практически таким же — 10.33 а.е.). Найдем далее разность гелиоцентрических долгот Сатурна и Земли γ \gamma . Это можно сделать с помощью теоремы синусов, а можно вновь воспользоваться геометрическим приемом, проведя перпендикуляр от Сатурна к продолжению линии "Земля-Солнце" и обозначив его длину как h. Учитывая, что угол γ \gamma больше 90°, запишем выражение для него:

γ = 180 ∘ − arcsin h R = 180 ∘ − arcsin D sin α R = 180 ∘ − arcsin ( sin α + r R cos α sin α ) = 140.6 ∘ . \gamma = 180^{\circ} - \arcsin\frac{h}{R} = 180^{\circ} - \arcsin\frac{D\sin\alpha}{R} = 180^{\circ} - \arcsin\left(\sin\alpha + \frac{r}{R}\cos\alpha\sin\alpha\right) = 140.6^{\circ}.

В настоящий момент Земля отстает от Сатурна в своем движении на этот угол. Учитывая, что Земля обгоняет Сатурн на целый оборот за синодический период Сатурна S, с учетом предположения о круговых орбитах можно определить, через сколько времени Земля догонит Сатурн в орбитальном движении:

T = S γ 360 ∘ = 148  cyr . T = S \frac{\gamma}{360^{\circ}} = 148 \text{ cyr}.

Получаем, что ближайшее противостояние Сатурна наступит 5 июня. Несмотря на ряд упрощений (круговые орбиты, приближенные вычисления), мы получили ответ, очень близкий к истинному – реальное противостояние Сатурна состоится 3 июня 2016 г.

Задачу можно решить приближенно, считая Сатурн очень далекой неподвижной планетой. В этом случае угол γ \gamma есть просто 180 ∘ 180^{\circ} – α \alpha = 144.1 ∘ 144.1^{\circ} , а синодический период Сатурна S равен земному году. Тогда мы получаем, что противостояние произойдет через 146 дней, то есть ровно 3 июня, то есть в итоге мы имеем даже более точный ответ. Причина этого в том, что в соответствии с условием задачи, не был учтен эксцентриситет орбиты Сатурна и то, что в 2016 году его расстояние от Солнца существенно больше среднего (10.01 a.e.), что также слегка смещает итоговую дату противостояния.

5. Рекомендации для жюри. Основным этапом решения является определение разности гелиоцентрических долгот Сатурна и Земли в момент, описанный в задаче. Участники олимпиады могут искать ее в точности (хотя это и не является необходимым), могут использовать приближенные вычисления, как описано выше, могут даже использовать графический метод, который оценивается полностью при условии точности вычислений. Весь этот этап решения оценивается в 6 баллов. При использовании схемы, описанной выше, 2 балла выставляется за определение углового расстояния между Солнцем и двумя планетами в небе Земли, 2 балла за определение расстояния до Сатурна (точно или приближенно), 2 балла – за определение угла γ.

Окончательный этап решения – вычисление даты противостояния Сатурна – оценивается в 2 балла. При этом допускается ошибка в 1-2 дня. Если участник олимпиады записывает дату противостояния, не приводя решения задачи, ему выставляется 2 балла.

Если решение задачи делается приближенно, и Сатурн считается бесконечно удаленной планетой, то при условии правильности вычислений такое решение оценивается 7 баллами (5 баллов за вычисление угла γ и 2 балла за расчет даты противостояния).