ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

9.5 Два спутника

Автор: Е. Н. Фадеев

АстрономияРегиональный9 класс2025Есть решение редакция rv_9d984281006487a8 ID p_8d6e899ca8ad8e7e
Предложить исправление

Два спутника Земли — «Метеор» и «Облако» — движутся по круговым орбитам в перпендикулярных плоскостях. В некоторый момент времени «Метеор» пролетел над «Облаком». Спустя четверть оборота «Метеор» мог видеть «Облако» на краю диска Земли. Угловой диаметр Земли при наблюдении с «Облака» равен = 93°.

  • A) На каком угловом расстоянии от края диска Земли будет видно «Облако» с «Метеора» через половину периода «Метеора» после пролета одного спутника над другим?

  • B) Сколько полных оборотов совершит «Метеор», прежде чем, вернувшись в исходную точку, он не сможет увидеть «Облако»?

Атмосферной рефракцией пренебречь.

Решение

Показать решение

Решение. На рисунке изобразим момент, когда «Метеор» видит «Облако» на краю диска Земли. Пусть = 6371 км — радиус Земли, а M и O — радиусы орбит «Метеора» и «Облака» соответственно.

Рис. 4: К определению радиусов орбит спутников.

Из рисунка видно, что радиус орбиты «Облака» равен (2 балла)

r O = R sin β 2 ≈ 8783 km . tag 19 r_{\rm O} = \frac{R}{\sin\frac{\beta}{2}} \approx 8783 \,\text{km}. \tag{19}

Стоит отметить, что угол /2 = 46.5° ≈ 0.8 рад довольно велик и замена синуса этого угла на сам этот угол в радианах неправомочна (замена справедлива, пока угол много меньше радиана) и приводит к значительной ошибке.

Радиус орбиты «Метеора» равен (2 балла)

r M = r O operatorname t g β 2 = R cos β 2 ≈ 9255 k m . tag 20 r_{\rm M} = r_{\rm O} \operatorname{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{R}{\cos \frac{\beta}{2}} \approx 9255 \,\mathrm{km}. \tag{20}

Рис. 5: Положение спутников после половины оборота «Метеора».

Зная радиусы орбит спутников, можем найти отношение их периодов обращения с помощью 3-го закона Кеплера (1+1 балла):

P M P O = ( r M r O ) 3 2 = ( operatorname t g β 2 ) 3 2 ≈ 1.082 . tag 21 \frac{P_{\rm M}}{P_{\rm O}} = \left(\frac{r_{\rm M}}{r_{\rm O}}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 1.082. \tag{21}

Спустя половину оборота «Метеор» окажется в точке своей орбиты противоположной исходной. «Облако» к этому моменту пройдет половину своей орбиты и еще некоторый угол = (M/0 −1)×180° ≈ 15° (1 балл). Мы получили угол «Облако»–центр Земли–«Метеор», а для ответа на первый вопрос нам нужно знать угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли. Обозначим его как . Его можно найти с помощью теоремы синусов, если знать расстояние между спутниками . Это расстояние можно найти с помощью теоремы косинусов (2 балла):

l = r O 2 + r M 2 − 2 r O r M cos γ ≈ 2355 k m . tag 22 l = \sqrt{r_{\rm O}^2 + r_{\rm M}^2 - 2r_{\rm O}r_{\rm M}\cos\gamma} \approx 2355\,{\rm km}. \tag{22}

Отсюда (2 балла)

α = arcsin ( r O l sin γ ) ≈ 71.2 ∘ . tag 23 \alpha = \arcsin\left(\frac{r_{\rm O}}{l}\sin\gamma\right) \approx 71.2^{\circ}. \tag{23}

Видимый с «Метеора» угловой радиус Земли равен ′/2 = 90° − /2 = 43.5°. Тогда искомый угол между «Облаком» и краем диска Земли (1 балл)

δ = α − β ′ / 2 = 27.7 ∘ . tag 24 \delta = \alpha - \beta'/2 = 27.7^{\circ}. \tag{24}

В исходной точке «Облако» останется видимым с «Метеора», пока не обгонит его на угол больший 90°. После каждого витка он опережает «Метеор» на угол 2. Разделив 90° на 2, получаем чуть больше 3. Это означает, что «Метеор» не сможет увидеть «Облако» только после того, как вернется в точку А в четвертый раз (3 балла).

Ответ на последний вопрос можно получить немного иначе. Выразим синодический период «Облака» для «Метеора» через периоды обращения этих спутников O и M:

S = P M P O P M − P O = P O P M P M 1 − P O P M ≈ 12.2 P M . tag 25 S = \frac{P_{\rm M}P_{\rm O}}{P_{\rm M} - P_{\rm O}} = \frac{P_{\rm O}}{P_{\rm M}} \frac{P_{\rm M}}{1 - \frac{P_{\rm O}}{P_{\rm M}}} \approx 12.2P_{\rm M}. \tag{25}

За синодический период «Облако» обгонит «Метеор» на один оборот. Значит, обгон на четверть оборота состоится за четверть синодического периода, то есть 3.1M. Мы снова пришли к тому же выводу.

Критерии

Показать критерии
Критерии оценивания.16
После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в слу
чае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитыва
ется, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.
К1.Определены радиусы орбит либо высоты спутников над поверхностью Земли3
Правильный метод вычисления 1
В частности, если вместо синуса угла в формулах (19) и (20) используется сам угол, то
этот балл не выставляется, но остальное решение оценивается полностью
Значение для «Облака» 1
Значение для «Метеора» 1
Вычисление обоих значений оценивается только если сам метод вычисления был верным
К2.Отношение периодов спутников3
Запись 3 закона Кеплера 2
Вычисление отношения периодов1
Засчитывается только при правильной формуле
К3.Определено угловое расстояние от «Облака» до края диска Земли6
Угол между спутниками при центре Земли 1
Линейное расстояние между спутниками2
Угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли 2
Расчет углового расстояния 1
К4.Ответ на второй вопрос4
Явно указаны 90 градусов или четверть оборота 1
Верно определено количество витков любым разумным способом 3
За каждый недостающий/лишний в ответе виток оценка за последний пункт снижается
на 1 балл