10.10 Капелла

Автор: В. Б. Игнатьев

Астрономия Региональный 10 класс 2026 Есть решение редакция rv_e38f0ad422f65a5d ID p_8daa4e2b2227ce1a

Капелла (Альфа Возничего) – одна из самых ярких звезд ночного неба. При этом она расположена достаточно близко к нам, ее параллакс равен 0.076′′. С появлением возможности получать спектры звезд и измерять их скорости стало известно, что Капелла – двойная звезда с периодом обращения компонент друг относительно друга, равным 104 дня. При этом эксцентриситет орбит равен нулю, а наклонение, угол между картинной плоскостью и плоскостью орбиты, составляет 43^∘ .

Вам дан график зависимости лучевых скоростей компонент системы в километрах в секунду от зависимости от фазы, доли периода. Определите, какое максимальное угловое расстояние может быть между этими звездами и его погрешность. Можно ли их различить в телескоп с диаметром 2.5 м при качестве атмосферы в 0.7 ′′ .

Рис. 7: Изображение к задаче 10.10.

Решение

Показать решение

Решение. Разобьем задачу на этапы. На первом этапе проанализируем представленный график. Обратим внимание, что графики лучевой скорости компонент пересекаются при значении величины на оси абсцисс 30 км/с. В этот момент лучевые скорости компонент одинаковы, а значит, с такой скоростью от наблюдателя удаляется центр масс системы. Вспомним, что

скорость центра масс системы, в отличие от скоростей компонент, не будет меняться со временем.

Рис. 8: Снятие данных с графика

Зная скорость центра масс, можно получить амплитуды лучевых скоростей каждой из компонент. Припишем «синей» компоненте индекс 1, а «красной» – индекс 2. Для снятия данных с графика проведем горизонтальные касательные к каждой из кривых лучевой скорости. Расстояние по рисунку от линии скорости центра масс до максимума «синей» компоненты, получается равным 47 ± 1 мм, а до максимума «красной» компоненты – 46 ± 1 мм. Конкретные цифры расстояний (в миллиметрах), получаемые участниками, могут отличаться от приведённых здесь из-за особенностей печати заданий в различных регионах.

Также определим масштаб графика по оси Y для этого измерим, например, расстояние между значениями 0 км/с и 60 км/с. Получим значение 107 ± 1 мм.

Теперь можем получить величины максимальных лучевых скоростей (которые уже не зависят от особенностей печати заданий и при верных измерениях у участников должны совпадать с авторскими значениями):

v_{r,1} = \frac{47}{107} \cdot 60 \,\, \mathrm{km/c} = 26.4 \,\, \mathrm{km/c} \qquad v_{r,2} = \frac{46}{107} \cdot 60 \,\, \mathrm{km/c} = 25.8 \,\, \mathrm{km/c}

Выполним оценку абсолютной ∆ и относительной погрешностей определения величины – масштаба графика лучевой скорости. Цена деления стандартной линейки ℓ⁰ = 1 мм, тогда абсолютная ∆^м и относительная погрешности масштаба будут:

Абсолютная ошибка ∆ величины

\Delta \mu = \mu \frac{\ell_0}{\ell},

Относительная ошибка величины

\varepsilon = \frac{\Delta\mu}{\mu} \cdot 100\% = \frac{\ell_0}{\ell} \cdot 100\%.

При записи последнего результата мы учли, что (ℓ0/ℓ ) ≪ 1. Тогда относительная и абсолютная ∆ погрешности можно записать так:

\varepsilon_{\mu} = \frac{1}{\ell} = \frac{1}{107} = 0.0093 \approx 0.93\%

\Delta \mu = \frac{\varepsilon_{\mu}}{100\%} \cdot \mu = \frac{\frac{1}{107}}{100\%} \cdot 60 = 0.56 \frac{\text{KM}}{\text{c MM}}.

Представим общий алгоритм оценки погрешностей измеряемой угловой величины на примере абстрактной величины . Погрешность складывается из погрешности измерение самой величины линейкой ℓ⁰ и погрешности масштаба, при помощи которого переводим измеряемые линейкой величины в угловые величины:

X \pm \Delta X = (L \pm \ell_0) \cdot (\mu \pm \Delta \mu) \approx (L \cdot \mu) \left( 1 + \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = X \left( 1 + \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right)

Абсолютная погрешность величины

\Delta X = X \left( \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right),\,

Относительная погрешность величины

\varepsilon_X = \frac{\Delta X}{X} \cdot 100\% = \frac{\ell_0}{L} \cdot 100\% + \frac{\Delta \mu}{\mu} \cdot 100\% = \varepsilon_L + \varepsilon_\mu \qquad \Delta X = X \cdot \frac{\varepsilon_X}{100\%}

\Delta v_{r,1} = v_{r,1} \left( \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = 26.4 \left( \frac{1}{47} + \frac{0.56}{47} \right) \text{ km/c} = 0.9 \text{ km/c} \qquad \Delta v_{r,2} = 25.8 \left( \frac{1}{46} + \frac{0.56}{46} \right) \text{ km/c} = 0.9 \text{ km/c}

Можно исключить из рассмотрения определение скорости центра масс, рассчитав максимальное и минимальное значение скоростей, а затем определив амплитуду скорости как половину

их разности. В этом случае участник проделывает те же действия и вычисления «в уме», в явном виде их не описывая, и возможно, не осознавая. При этом такое решение засчитываться как полное при наличии верно полученного значения амплитуд скоростей.

Зная угол наклона плоскости орбит системы к лучу зрения, можем получить и орбитальную скорость каждой компоненты:

v_r = v_o \sin i \rightarrow v_{o,1} = \frac{v_{r,1}}{\sin i} = \frac{v_{r,1}}{\sin(43^\circ)}

На следующем этапе свяжем орбитальную скорость каждого компонента системы с радиусом круговой орбиты каждого из компонентов вокруг общего центра масс:

v_{o,i} = \frac{2\pi R_i}{T} \qquad \to \qquad R_i = \frac{v_{o,i}T}{2\pi}

Расстояние между компонентами системы равно $a = R_1 + R_2$

a = \frac{T}{2\pi}(v_{o,1} + v_{o,2}) = \frac{T}{2\pi \sin(43^\circ)}(v_{r,1} + v_{r,2})

Подставим значения:

a = \frac{104 \cdot 86400 \text{ c}}{2\pi 0.682} (26.4 + 25.8) \cdot 10^3 \text{ m/c} = 1.09 \cdot 10^{11} \text{ m} = 0.73 \text{ a.e.}

В случае ошибочного использования $\cos i$ минимальное значение составит a=0.68 а.е.

Найдем ошибку определения радиуса орбиты:

\Delta a = a\sqrt{\left(\frac{\Delta v_{r,1}}{v_{r,1}}\right)^2 + \left(\frac{\Delta v_{r,2}}{v_{r,2}}\right)^2} = 0.7\sqrt{\left(\frac{0.9}{26.4}\right)^2 + \left(\frac{0.9}{25.8}\right)^2} \approx 0.03

В случае ошибочного использования $\cos i$ ошибка определения радиуса орбиты составит также $\Delta a = 0.03$ a.e.

Следующий этап решения – это представление видимого расположения двух звезд в картинной плоскости наблюдателя. С учетом того, что орбиты круговые, но имеют наклонение $43^{\circ}$ , видимая орбита одной звезды относительно другой звезды будет представлять собой эллипс с большой полуосью a и малой полуосью $b = a \sin i = a \sin(43^{\circ}) = 0.682a$ . Оценим угловой размер при максимальном и минимальном расстоянии между звездами в картинной плоскости.

Максимальное значение:

\rho_{\text{max}} = \frac{206265 \ a}{r} = \frac{a \ \text{a.e}}{r \ \text{mk}} = 0.055''

В случае ошибочного использования $\cos i$ максимальное значение составит $\rho_{\rm max}=0.052''$

Найдем ошибку определения $\rho_{\rm max}$ :

\Delta \rho_{\text{max}} = \rho_{\text{max}} \frac{\Delta a}{a} = \frac{206265 \ a}{r} \frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta a \ \text{a.e}}{r \ \text{mk}} = \Delta a \ \text{a.e} \pi = 0.03 \cdot 0.076'' \approx 0.002''

В случае ошибочного использования cos ошибка определения максимального углового разделения составит теже ∆max = 0.002′′

Получив значения углового разделения звезд, можно сразу сделать вывод, что такие углы для большей части наземной астрономии недоступны, так как полученная величина на порядок меньше величины размытия атмосферы и величины дифракционного предела объектива телескопа. Тем не менее, при помощи методов спекл-интерферометрии можно обойти ограничения, связанные с атмосферой.

Ответ. max = 0.055′′ ± 0.002′′. Для наземных телескопов эта система неразрешима.

Критерии

Показать критерии

	Критерии оценивания. 20
	Каждый пункт оценивается только в случае верного его выполнения и получения верного
	численного ответа.
К1.	Снятие данных с графика8
	Определение скорости движения центра масс 2
	Определение масштаба графика (км/с на мм) 2
	±2 × Определение лучевых скоростей компонент с точностью км/с 2 2
	Если участник снял масштаб с графика, определив расстояние между двумя соседними
	рисками, либо вообще не описал метод снятия масштаба, за второй подпункт ставится не
	более 1 балла при верном полученном значении скоростей
К2.	Определение полуоси орбиты	5
	Связь полуоси и суммы орбитальных скоростей 2
	Связь полуоси и суммы лучевых скоростей 2
	Получение значения большой полуоси 1
	Участник мог не использовать наклонение орбиты в своем решении. Это важный этап
	решения задачи, так как если бы орбита двойной системы лежала в картинной плоскости,
	лучевые скорости были бы неизмеряемы, и, как следствие, мы бы не узнали, что Капелла
	2 + 0 + 0 5 – кратная звезда. Такое решение оценивается не более, чем в балла из за
	sin 𝑖 данный критерий. Участник мог ошибиться в определении угла наклонения и вместо
	cos𝑖. В этом случае данный пункт оценивается как 2 + 0 + 1 использовать балл
К3.	Определение углового разделения между звездами2
К4.	Вывод о том, что такое угловое разделение недоступно для наблюдений2
	Если участник не определил скорость движения центра масс, но получил верные значения амплитуд скоростей, то решение засчитывается в полном объеме. Если же в решении
	55 появляются амплитуды скоростей порядка км/с, то задача оценивается в ноль баллов.
К5.	Определение погрешности величины3
	Определение погрешности масштаба 1
	Определение погрешности лучевой скорости 1
	Определение погрешности углового расстояния 1

Подборка

10.10 Капелла

Решение

Критерии