ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный9 класс2016Есть решение редакция rv_4d898a3a7fede51a ID p_a22d50100ff8f1bb
Предложить исправление

Сколько звездных и солнечных секунд (с точки зрения наблюдателя) проходит за одну физическую секунду в поезде, идущем по одной из самых северных железных дорог мира Дудинка-Норильск (широта +69.5°) в восточном направлении со скоростью 60 км/ч? Уравнением времени пренебречь.

Решение

Показать решение

Для неподвижного (относительно поверхности Земли) наблюдателя звездное небо будет вращаться вокруг оси мира с угловой скоростью

Ω S = 2 π T S , \Omega_{\rm S} = \frac{2\pi}{T_{\rm S}},

где T S T_{\rm S} — период осевого вращения Земли или продолжительность звездных суток для неподвижного наблюдателя (23 часа 56 минут и 4 секунды). За счет орбитального движения Земли вокруг Солнца солнечные сутки T 0 T_0 будут несколько длиннее — ровно 24 часа. Соответствующая угловая скорость видимого суточного движения Солнца (без учета уравнения времени) равна

Ω 0 = 2 π T 0 = 2 π T S − 2 π T . \Omega_0 = \frac{2\pi}{T_0} = \frac{2\pi}{T_S} - \frac{2\pi}{T}.

Здесь T – продолжительность года. При движении поезда на восток (в ту же сторону, что и Земля вокруг своей оси) наблюдатель получает дополнительную угловую скорость, равную линейной скорости v, деленной на радиус окружности вокруг оси Земли, по которой происходит движение:

ω = v R cos φ . \omega = \frac{v}{R\cos\varphi}.

Здесь R — радиус Земли, ϕ \phi — широта места наблюдения. Видимые угловые перемещения звезд и Солнца в ходе суточного движения при наблюдении с поезда увеличатся на эту величину:

Ω ' S = Ω S + ω ; \Omega'_{S} = \Omega_{S} + \omega;
Ω ' 0 = Ω 0 + ω . \Omega'_{0} = \Omega_{0} + \omega.

Одна секунда в той или иной шкале — это время, за которое объект в ходе суточного вращения повернется на угол θ \theta , равной одной временной секунде (или 15"). Физическая секунда t 0 t_0 — это секунда в шкале солнечного времени для неподвижного наблюдателя (уравнением времени мы пренебрегаем):

t 0 = θ Ω 0 . t_0 = \frac{\theta}{\Omega_0}.

Длительность звездной и солнечной секунды для наблюдателя на поезде составят:

t ' S = θ Ω ' S ; t ' 0 = θ Ω ' 0 . t'_{S} = \frac{\theta}{\Omega'_{S}}; \quad t'_{0} = \frac{\theta}{\Omega'_{0}}.

Выразим одну физическую секунду в полученных выше единицах:

t 0 t ' S = Ω ' S Ω 0 = T 0 T S ( 1 + v T S 2 π R cos φ ) = 1.105 ; \frac{t_0}{t'_S} = \frac{\Omega'_S}{\Omega_0} = \frac{T_0}{T_S} \left( 1 + \frac{vT_S}{2\pi R \cos \varphi} \right) = 1.105;
t 0 t ' 0 = Ω ' 0 Ω 0 = 1 + v T 0 2 π R cos φ = 1.103. \frac{t_0}{t'_0} = \frac{\Omega'_0}{\Omega_0} = 1 + \frac{vT_0}{2\pi R \cos \varphi} = 1.103.

Итак, за одну физическую секунду наблюдатель этого поезда зафиксирует 1.105 звездных и 1.103 солнечных секунды.

    1. Рекомендации для жюри. Данную задачу можно решать, сравнивая угловые скорости (или углового перемещения за секунду) видимого суточного движения Солнца и звезд для неподвижного наблюдателя и пассажира поезда или, напротив, сравнивая периоды обращения Солнца и звезд (солнечные и звездные сутки) для двух наблюдателей, оба подхода считаются в равной степени верными. Вычисление соотношения между длительностью звездных и солнечных суток для неподвижного наблюдателя (или соответствующих угловых скоростей) оценивается в 2 балла. Правильный учет движения поезда и вывод соотношений для длительности суток (угловых скоростей) для наблюдателя на поезде оценивается в 2 балла. Наконец, вычисление длительности обычной секунды в звездной и солнечной шкале для наблюдателя на поезде оцениваются еще по 2 балла.