ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный10 класс2018Есть решение редакция rv_766f143164792a94 ID p_a597b2d5375af5c0
Предложить исправление

Оптическая звезда входит в двойную систему с темным компактным объектом. Масса темного объекта равна 1.4 массы Солнца. Движение вокруг центра масс происходит так, что у оптической звезды исчезает годовое параллактическое смещение в небе Земли. Определите массу этой звезды. Орбиты Земли и звезд в системе считать круговыми.

Решение

Показать решение

Изобразим описанную в условии задачи систему из светлой и темной звезды. Обе они движутся по круговым орбитам вокруг центра масс. Коль скоро у светлой звезды с массой M нет параллактического смещения, линия "Земля звезда" все время сохраняет фиксированное направление в пространстве. В случае круговых орбит это может быть только в том случае, если звезда описывает круг около центра масс с радиусом R, равным 1 а.е. с периодом 1 год в плоскости, параллельной плоскости вращения Земли (плоскости эклиптики).

Выражая радиусы орбит в астрономических единицах, массы – в массах Солнца, а период обращения – в годах, запишем выражение обобщенного III закона Кеплера:

( M + m ) T 2 ( R + r ) 3 = 1. \frac{(M+m)T^2}{(R+r)^3}=1.

Фактически, мы сравниваем эту систему с системой "Солнце-Земля", где все три величины равны единице. Для двойной системы также T=1, а для радиусов орбит справедливо соотношение:

M R = m r . MR = m r.

Отсюда r = R (M/m), и далее:

( 1 + M m ) 3 = ( M + m ) . \left(1+\frac{M}{m}\right)^3=(M+m).

Обе величины M и m безразмерны, так как представляют собой отношение масс звезд к массе Солнца. Умножая обе части уравнения на m 3 m^3 , получаем:

( M + m ) 3 = m 3 ( M + m ) . (M+m)^3 = m^3 (M+m).

Из этого мы можем определить массу звезды M (в массах Солнца):

M = m 3 / 2 − m = 0.26. M = m^{3/2} - m = 0.26.

Оптическая звезда, вероятно, представляет собой красный карлик и является, по сути, спутником темного массивного объекта.

3. Система оценивания. Для решения задачи участники олимпиады должны сделать вывод о том, что круговая траектория оптической звезды по своим характеристикам идентична орбите Земли. Этот вывод можно сделать в другом виде: смещение равно параллаксу, а параллакс есть угол, под которым виден радиус орбиты Земли, следовательно, радиус орбиты звезды равен 1 а.е. Вывод в любой из форм оценивается в 2 балла. Если он не выписан в явном виде, эти 2 балла не выставляются, но дальнейшее решение оценивается в полной мере.

Правильное использование III закона Кеплера оценивается в 2 балла, при этом его запись может отличаться от приведенной выше (может использоваться полная формулировка с системным выражением всех величин). Правильное соотношение радиусов орбит звезд оценивается еще в 1 балл. Наконец, 3 балла выставляется за правильное математическое исполнение решения и запись ответа.