9.7 Транзитная зона

Автор: М. В. Силантьев, Е. Н. Фадеев

Астрономия Региональный 9 класс 2026 Есть решение редакция rv_09659b49d6794844 ID p_ab6eb05ae78291f9

Астрономы на галилеевых спутниках Юпитера наблюдают прохождения других галилеевых спутников по диску Юпитера. На каком из спутников находится астроном, наблюдающий самое длительное прохождение? Какой спутник он при этом видит? Определите максимальное время прохождения. Масса и радиус Юпитера равны соответственно 1.9 · 10²⁷ кг и 71 500 км. Все указанные спутники движутся в одной плоскости в одном направлении.

Название	Диаметр, км	Масса, кг	Радиус орбиты, км
Амальтея	250	1018 2.1 ×	181 400
Фива	100	1017 4.3 ×	221 900
Ио	3643	1022 × 8.9	421 800
Европа	3122	1022 × 4.8	671 100
Ганимед	5268	1023 1.5 ×	1 070 400
Каллисто	4821	1023 1.1 ×	1 882 700
Фемисто	9	1014 6.9 ×	7 393 216
Гималия	160	1018 × 4.2	11 450 000

Решение

Показать решение

Решение. К галилеевым спутникам относятся Ио, Европа, Ганимед и Каллисто, поэтому остальные спутники можно не рассматривать. Из них Ио — ближайшая к планете, поэтому с нее невозможно наблюдать прохождение других галилеевых спутников по диску Юпитера. Орбиты галилеевых спутников почти точно лежат в плоскости экватора Юпитера, поэтому все прохождения можно считать центральными. Продолжительность прохождения зависит от относительной скорости спутника и углового размера планеты. Чем меньше относительная скорость (что соответствует большему синодическому периоду), тем дольше длится явление. Поэтому имеет смысл рассматривать только пары соседних спутников: Ио при наблюдении с Европы, Европу — с Ганимеда и Ганимеда — с Каллисто.

Обозначим внешний спутник цифрой 2, а внутренний — цифрой 1. Зная радиус орбиты спутника ² и радиус Юпитера X, можно определить его угловой диаметр для наблюдателя:

\delta_{2} = 2 \arcsin \frac{R_{2}}{a_{2}} \approx 57.3 \cdot \frac{2R_{2}}{a_{2}}.

Здесь 57.3 — число градусов в радиане. Также мы воспользовались малостью угла , поскольку ^X как минимум в 10 раз меньше радиусов орбит интересующих нас спутников.

Прохождение продолжается от момента, когда передний край спутника появляется на диске Юпитера до момента, когда спутник целиком сходит с диска планеты. За это время центр спутника проходит угол, больший ^X на величину его углового диаметра 1. Пренебрегая изменением расстояния до спутника во время прохождения, получим:

\delta_1 = 57.3 \cdot \frac{2R_1}{a_2 - a_1}.

Здесь ¹ — радиус внутреннего спутника. Тогда полное угловое расстояние, которое должен пройти внутренний спутник, равно ⁼ ^X ⁺ 1.

Дальше можно решать задачу несколькими способами.

Вариант 1. Найдем длину дуги орбиты, которую проходит внутренний спутник во время покрытия, в градусах (). Очевидно, что < . Тогда, учитывая, что они опираются на одну хорду, сразу получаем ответ:

(a_2 - a_1) \cdot \delta = a_1 \cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma = \frac{a_2 - a_1}{a_1} \cdot \delta.

Зная массу Юпитера ^X и радиус орбиты спутника , можно с помощью третьего закона Кеплера определить его сидерический период обращения:

T_{1,2} = 2\pi \sqrt{\frac{a_{1,2}^3}{GM_{2}}}.

Синодический период двух соседних спутников можно найти с помощью уравнения синодического движения:

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}.

Выберем систему отсчета, в которой спутник 1 и центр Юпитера покоятся. Тогда время, за которое внутренний спутник проходит дугу орбиты , равно

t = S \frac{\gamma}{360^{\circ}}.

Вариант 2. Спутники движутся вокруг Юпитера с первыми космическими скоростями:

v_{1,2} = \sqrt{\frac{GM_{7+}}{a_{1,2}}}.

Перейдем в систему отсчета, вращающуюся вокруг Юпитера с угловой скоростью ² = 2/2. Тогда переносная скорость спутника 1 в момент прохождения составит

v_{1,\text{nep}} = \omega_2 \cdot a_1 = \frac{a_1}{a_2} v_2,

а скорость спутника 1 относительно спутника 2 составит

v_{1,\text{отн}} = v_1 - v_{1,\text{пер}} = v_1 - \frac{a_1}{a_2} v_2 = \frac{v_1 a_2 - v_2 a_1}{a_2}.

Угловая скорость спутника 1 во время прохождения равна

\Omega = \frac{v_{1,\text{отн}}}{a_2 - a_1} = \frac{v_1 a_2 - v_2 a_1}{a_2 (a_2 - a_1)}.

Тогда время прохождения равно

t_2 = \frac{\delta}{\Omega}.

Вариант 3. Перейдем в систему отсчета, в которой спутник 2 (где находится наблюдатель) неподвижен, а Юпитер движется относительно него со скоростью $v_2$ . Тогда в момент прохождения скорость спутника 1 относительно 2 будет равна $u_1 = v_1 - v_2$ . Угловые скорости спутника 1 и Юпитера составят соответственно

\Omega_1 = \frac{u_1}{a_2 - a_1} = \frac{v_1 - v_2}{a_2 - a_1} \text{ и } \Omega_{7} = \frac{v_2}{a_2}.

С точки зрения наблюдателя Юпитер и спутник движутся в противоположные стороны. Тогда угловая скорость спутника 1 относительно Юпитера

\Omega = \Omega_1 + \Omega_{\uparrow} = \frac{v_1 - v_2}{a_2 - a_1} + \frac{v_2}{a_2} = \frac{v_1 a_2 - v_2 a_1}{a_2 (a_2 - a_1)}.

Мы получили такую же формулу для угловой скорости, как и в предыдущем варианте.

Теперь проведем вычисления, а результаты запишем в таблицы.

Спутник	T , сут	v , km/c
Ио	1.77	17.3
Европа	3.55	13.7
Ганимед	7.15	10.9
Каллисто	16.7	8.20

	$\delta_4$ , °	$\delta_1$ , °	$\delta$ , °	$\gamma,$ $^{\circ}$	S , сут	t , ч
Европа — Ио	12.2	0.84	13.0	7.71	3.53	1.8
Ганимед — Европа	7.65	0.45	8.10	4.82	7.05	2.3
Каллисто — Ганимед	4.35	0.37	4.72	3.58	12.5	3.0

		$v_{1,\text{отн}}$ км/с		$\frac{\Omega_{7}}{c^{-1}}$	$\Omega_1$ $c^{-1}$	$\Omega$ °/c	t ₂ ч
Европа — Ио	8.64	8.70	3.59	$2.05\times10^{-5}$	$1.44\times10^{-5}$	0.00200	1.8
Ганимед — Европа	6.82	6.92	2.86	$1.02\times10^{-5}$	$7.16 \times 10^{-6}$	0.00099	2.3
Каллисто — Ганимед	4.66	6.22	2.68	$4.36 \times 10^{-6}$	$3.29 \times 10^{-6}$	0.00044	3.0

Дольше всего наблюдается прохождение Ганимеда при наблюдении с Каллисто — 3 часа.

Критерии

Показать критерии

	Критерии оценивания.	16
К1.	Правильно выбраны 4 галилеевых спутника	1
	Если рассматриваются не все 4 галилеевых спутника или вместе с ними другие спутники,
	то оценки за критерии K1, K5, K6 не выставляются.
К2.	𝛿, которое проходит внутренний спутник во время покрытия Угловое расстояние	4
	Угловой размер Юпитера: формула + значение2
	Учет углового размера внутреннего спутника: формула + значение 2
	Если угловой размер спутника не учитывается в решении, даже если он вычислен, эти 2
	балла не выставляются, но дальнейшее решение оценивается полностью.
К3.	Формула сидерического периода (Вар.1 ) или круговой скорости (Вар.2, 3 )	2
К4.	Формулы для определения времени прохождения Вариант 1	5
	𝑆
	Синодический период 2 𝛾
	Дуга орбиты 2 𝑡
	Время покрытия 1 Вариант 2
	𝑣1,пер
	Переносная скорость 2 𝑣1,отн
	Относительная скорость 1 Не оценивается, если переносная скорость определяется неверно.
	Ω1 Угловая скорость
	Не оценивается, если переносная или относительная скорости определены неверно.
	𝑡2 Время покрытия 1
	Вариант 3
	𝑢1 Относительная скорость 1
	Ω1 Угловая скорость 1
	Не оценивается, если относительная скорость определена неверно.
	Ω Угловая скорость 1
	X Ω1 Угловая скорость
	Не оценивается, если Ω1 и/или Ω определены неверно.
	X 𝑡2 Время покрытия 1
К5.	Правильно получены численные значения времен транзитов	3
	При наблюдении Ио с Европы1
	При наблюдении Европы с Ганимеда 1
	При наблюдении Ганимеда с Каллисто 1
	Если были рассчитаны времена транзитов других пар спутников, то дополнительных бал
	лов они не приносят, но каждое ошибочное значение уменьшает общий балл по этому
	критерию.
К6.	Максимальное время прохождения при наблюдении Ганимеда с Каллисто	1

Подборка

9.7 Транзитная зона

Решение

Критерии