ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

АстрономияРегиональный10 класс2011Есть решение редакция rv_66d07525dcd163fb ID p_add3a683fee56068
Предложить исправление

Астроном наблюдает полную Луну в два телескопа с одинаковыми окулярами с фокусным расстоянием 2.5 см. Объектив первого телескопа имеет диаметр 5 см и фокусное расстояние 1 метр. Второй телескоп имеет объектив диаметром 50 см с фокусным расстоянием 5 метров. Центр диска Луны совпадает с центром поля зрения. Сравните освещенность центральной части глазного дна наблюдателя в обоих случаях.

Решение

Показать решение

Построим оптическую схему системы «телескоп глаз наблюдателя».

Обозначим диаметр объектива через D. На него в единицу времени будет падать световая энергия от Луны в количестве

J = I 0 π D 2 4 , J = I_0 \frac{\pi D^2}{4},

где I 0 I_0 – поток энергии от полной Луны на Земле. Захваченное объективом излучение будет передаваться на фокальную плоскость, в которой получится изображение диска Луны диаметром

d 1 = β F , d_1 = \beta F,

где β \beta — угловой диаметр Луны, а F — фокусное расстояние объектива. Освещенность в центре изображения будет равна

S 1 = 4 J π d 1 2 = 4 I 0 D 2 β 2 F 2 . S_1 = \frac{4J}{\pi d_1^2} = 4I_0 \frac{D^2}{\beta^2 F^2}.

Далее свет проходит систему из окуляра с фокусным расстоянием f и глаза с фокусным расстоянием l. Чтобы весь свет попал в глаз, диаметр выходного пучка δ \delta не должен превышать диаметр зрачка глаза, равный δ \delta мм. Для диаметра выходного пучка справедливо выражение

δ = D f F . \delta = D \frac{f}{F}.

Для двух рассматриваемых телескопов диаметр выходного пучка получается равным соответственно 1.25 и 2.5 мм, что удовлетворяет указанному условию. В этом случае на сетчатке формируется еще одно изображение диска Луны с размером

d 2 = d 1 l f = β F l f d_2 = \frac{d_1 l}{f} = \frac{\beta F l}{f}

и освещенностью в центре

S 2 = 4 J π d 2 2 = 4 I 0 D 2 f 2 β 2 F 2 l 2 . S_2 = \frac{4J}{\pi d_2^2} = 4I_0 \frac{D^2 f^2}{\beta^2 F^2 l^2}.

Так как речь идет о центре поля зрения, данная величина не зависит от величины поля зрения окуляра. Отношение величин освещенности сетчатки для первого и второго телескопов составит

S 21 S 22 = D 1 2 F 2 2 D 2 2 F 1 2 = 1 4 . \frac{S_{21}}{S_{22}} = \frac{D_1^2 F_2^2}{D_2^2 F_1^2} = \frac{1}{4}.

Освещенность при использовании второго телескопа будет вчетверо больше, чем при использовании первого телескопа.