ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

АстрономияРегиональный10 класс2023Есть решение редакция rv_943924e4187f7095 ID p_af20fe5ee43921f9
Предложить исправление

26 сентября 2022 года Юпитер оказался в «великом» (ближайшем к Солнцу и Земле) противостоянии и подошел к Земле на рекордно малое расстояние за последние 59 лет – 591.3 млн км. Это уникальный шанс для получения наиболее детальных фотографий атмосферы планеты. Астроном-любитель решил снять планету с помощью телескопа с диаметром объектива DT = 150 мм и относительным отверстием, равным 1:5, используя трехкратную линзу Барлоу (ЛБ, увеличивающую эффективное фокусное расстояние в 3 раза) и астрокамеру с размером пикселя матрицы 2.4×2.4 мкм. Считать, что Юпитер обращается вокруг Солнца в плоскости эклиптики.

Решение

Показать решение

1. Прежде всего, определим разрешающую способность объектива телескопа на указанной длине волны, обусловленную явлением дифракции:

β T = 1.22 λ D T × 206265 " = 0.93 " . \beta_{\rm T} = 1.22 \frac{\lambda}{D_{\rm T}} \times 206265 " = 0.93 ".

Согласно условию, атмосферные искажения во время наблюдения не меньше 1.5″, что больше βT. Значит, разрешающая способность объектива будет определяться именно состоянием атмосферы, а не дифракцией. Поскольку была использована трехкратная линза Барлоу, то эффективное фокусное расстояние объектива будет

F 9 ϕ ϕ = k × F 06 = k × D T χ = 2250  mm , F_{9\phi\phi} = k \times F_{06} = k \times \frac{D_{T}}{\chi} = 2250 \text{ mm},

здесь k = 3 – кратность линзы Барлоу, χ = 1:5 – относительное отверстие телескопа. Тогда на матрице астрокамеры угол в 1.5″ отобразится отрезком, длина которого

l = 1.5 " 206265 " × F 9 ϕ ϕ = 16.4  MKM = 6.83 ⋅ a 0 l = \frac{1.5"}{206265"} \times F_{9\phi\phi} = 16.4 \text{ MKM} = 6.83 \cdot a_0

где a0 = 2.4 мкм – линейный размер одного пикселя. Следовательно, искомый масштаб изображения данной оптической системы «телескоп-камера» есть

β O C = 1.5 " 6.83 пикселя = 0.22 " / пиксель . \beta_{\rm OC} = \frac{1.5"}{6.83 \, \text{пикселя}} = 0.22" / \text{пиксель} \, .

Отметим, что масштаб одного пикселя существенно меньше других факторов, ограничивающих разрешение (атмосфера и дифракция) и тем самым на разрешающую способность системы не влияет.

2. Очевидно, размытие изображения Юпитера возможно, если в результате суточного вращения Земли произойдёт смещение лимба и деталей атмосферы Юпитера на угол, не меньший 1.5″. Поскольку противостояние Юпитера было великим, то его геоцентрическое расстояние должно минимальным среди прочих противостояний планеты-гиганта, что достигается в случае, когда последняя лежит в плоскости эклиптики. Кроме того, противостояние Юпитера произошло вблизи дня осеннего равноденствия, то, очевидно, Юпитер располагался в малой окрестности данной точки, значит, его склонение было близко к нулю. Тогда угловая скорость видимого движения Юпитера по небосводу будет равна угловой скорости суточного вращения Земли – ω⨁ = 15″/с. Значит, максимально допустимая выдержка для одного кадра видеоролика при неподвижной трубе телескопа будет

τ max ( 1 ) = 1.5 " ω ⊕ = 1 10 c . \tau_{\text{max}}^{(1)} = \frac{1.5"}{\omega_{\oplus}} = \frac{1}{10} c.

3. Для определения оптимального размера одного кадра при съемке Юпитера с использованием ЛБ, прежде всего, вычислим угловой экваториальный диаметр Юпитера в эти сутки:

D J ″ = 2 R J Δ J × 206265 ″ = 49.9 ″ , D_{\rm J}'' = \frac{2R_{\rm J}}{\Delta_{\rm J}} \times 206265'' = 49.9'',

здесь RJ – экваториальный радиус Юпитера, ΔJ – его геоцентрическое расстояние на момент противостояния. Тогда линейный экваториальный диаметр диска Юпитера на матрице астрокамеры во время съемки (в пикселях) есть

d J = D J " × 6.83 п и к с е л е й 1.5 " = 227 п и к с е л е й . d_{\mathrm{J}} = D_{\mathrm{J}}^{\; "} \times \frac{6.83\,\mathrm{пикселей}}{1.5\,"} = 227\,\mathrm{пикселей}.

Очевидно, это максимально возможный линейный размер диска планеты на матрице. Следовательно, с целью минимизации размера видеоролика подойдет кадр с размерами 320×240 пикселей.

4. Чтобы не было смаза деталей атмосферы планеты, обусловленного суточным вращением Юпитера, необходимо, чтобы самые быстрые точки поверхности Юпитера относительно астронома-любителя сместились за искомый промежуток времени не более чем на 1.5″, что соответствует линейному размеру на поверхности планеты, равному

L J = 1.5 ″ 206265 ″ × Δ J = 4300 к м . L_{\rm J} = \frac{1.5\,''}{206265\,''} \times \Delta_{\rm J} = 4300\,{\rm км}.

Самыми быстрыми точками поверхности Юпитера являются точки экватора планеты, проходящие в момент съемки через ее центральный меридиан. Их скорость перпендикулярна лучу зрения и равна

V J = 2 π ⋅ R J T J = 12.57 km/c . V_{\rm J} = \frac{2 \, \pi \cdot R_{\rm J}}{T_{\rm J}} = 12.57 \, \text{km/c}.

В итоге, искомая максимальная продолжительность видеоролика будет

τ m a x ( l a p ) = L J V J = 342 c = 5.70 m u h . \tau_{\rm max}^{(\rm lap)}\!=\!\frac{L_{\rm J}}{V_{\rm J}}\!=\!342\,{\rm c}\!=\!5.70\,{\rm muh}.