10.4 Сказания о проницающей способности

Автор: М.В. Кузнецов

Астрономия Региональный 10 класс 2025 Есть решение редакция rv_db6c08cd5f624e05 ID p_b1ff9bc556522392

Наблюдатель использует телескоп и два окуляра (¹ = 10 мм, ² = 40 мм) для наблюдения рассеянных звездных скоплений. При наблюдении с большим увеличением наблюдатель заметил, что предельная звездная величина составила 13.6 , а при наблюдении в окуляр с меньшим увеличением – 13.0 . Чему равны относительное отверстие, диаметр и фокусное расстояние объектива этого телескопа?

Решение

Показать решение

Решение.

В общем случае формулу для проницающей способности визуального телескопа можно записать следующим образом:

m_{lim} = 6^m + 5\log\frac{D}{d_{out}} = \begin{cases} 6^m + 5\log\frac{D}{d} = 2.1^m + 5\log(D \text{ MM}), & \Gamma > \frac{D}{d_{out}} \\ 6^m + 5\log\frac{F}{f} = 6^m + 5\log\Gamma, & \Gamma \le \frac{D}{d_{out}} \end{cases}

Здесь – диаметр объектива телескопа, – диаметр зрачка глаза, – диаметр выходного пучка света из окуляра, – фокусное расстояние объектива, – фокусное расстояние окуляра. Диаметр зрачка глаза человека в темноте примерно равен 6 мм, а предельная звездная величина для человеческого глаза равна 6 .

Рис. 6: Зависимость проницающей способности телескопа от увеличения окуляра. Удобно использовать логарифмическую шкалу для увеличения.

Равнозрачковым называется такое увеличение телескопа, при котором диаметр выходного пучка света равен диаметру зрачка глаза:

\Gamma_0 = \frac{D}{d_{out}}

Такая зависимость предельной звездной величины может быть получена из следующих соображений:

Если увеличение телескопа (Γ) больше, чем равнозрачковое, весь собранный телескопом свет попадает в глаз наблюдателя, и проницающая способность ограничивается возможностями человеческого глаза. Для этого случая используем формулу Погсона в виде

m_{lim} = 2.1 + 5\log(D_{\rm MM}). \tag{1}

При увеличении, меньшем равнозрачкового, диаметр выходного пучка света из окуляра больше, чем размер зрачка, и в глаз наблюдателя попадает не весь собранный телескопом свет, а только его часть, что приводит к уменьшению проницающей способности. Для такого случая проницающая способность определяется размером выходного пучка и, следовательно, коэффициентом увеличения телескопа:

m_{lim} = 6 + 5\log\Gamma\tag{2}

При увеличении, равном равнозрачковому, обе формулы дают одинаковый результат.

Поскольку проницающая способность при использовании обоих окуляров разная, ситуация, когда они оба дают увеличение больше равнозрачкового, невозможна. Как минимум, один из окуляров имеет увеличение меньше $\Gamma_0$ . Но из условия задачи неизвестно, будет ли увеличение меньше равнозрачкового для обоих окуляров, или только для одного из них.

Проверим гипотезу, что коэффициенты увеличения обоих окуляров меньше равнозрачкового.

Отношение фокусных расстояний окуляров равно 4. Следовательно, отношение увеличений, которые можно получить на этом телескопе с данными окулярами, также равно 4.

Запишем разность предельных звездных величин для двух окуляров в этом случае.

m_1 - m_2 = 5 \log \Gamma_1 - 5 \log \Gamma_2 = 5 \log \frac{\Gamma_1}{\Gamma_2} = 5 \log 4 = 3.01^m

Но по условию задачи разность предельных звездных величин составляет всего $0.6^m$ . Значит, наша гипотеза, что оба увеличения меньше равнозрачкового, не подтверждается.

Рис. 7: Рисунок, поясняющий гипотезу, что оба увеличения меньше, чем равнозрачковое $\Gamma_0$

Тогда предельная звездная величина $13.6^m$ – это предельная звездная величина при диаметре выходного пучка, равном или меньшем, чем диаметр зрачка.

Из первой формулы можем сразу получить значение диаметра объектива телескопа:

D = 6 \cdot 10^{\frac{m_1 - 6}{5}} \approx 200 \text{ mm}

Теперь осталось определить фокусное расстояние объектива. Это можно сделать несколькими способами.

Вариант 1. Запишем систему уравнений для предельных звездных величин:

\begin{cases} m_1 = 6 + 5\log\left(\frac{D}{6}\right) \\ m_2 = 6 + 5\log\left(\frac{F}{f_2}\right) \end{cases}

Вычтем из первого уравнение второе

m_1 - m_2 = 5\log\left(\frac{D}{6}\right) - 5\log\left(\frac{F}{f_2}\right) = 5\log\left(\frac{D}{6} \cdot \frac{f_2}{F}\right) = 5\log\left(A \cdot \frac{f_2}{6}\right)

3десь A – относительное отверстие телескопа. Пропотенцируем предыдущее выражение:

A \cdot \frac{f_2}{6} = 10^{0.2(m_1 - m_2)}

Разность предельных звездных величин мы можем найти из условия задачи.

A = 10^{0.2(13.6 - 13.0)} \cdot \frac{6}{10} \approx \frac{1}{5}

Рис. 8: Случай, реализованный в задаче

Следовательно, фокусное расстояние объектива можно выразить как

F = \frac{D}{A} = 5 \cdot D = 1000 \text{ mm}

Вариант 2. Рассмотрим формулу (2) более внимательно.

m_{\text{IIP}} = m_2 = 6 + 5\log\Gamma = 6 + 5\log\left(\frac{F}{f_2}\right)

В принципе все величины этого уравнения, кроме искомого F, известны. Выразим:

\frac{F}{f_2} = 10^{0.2(m_2 - 6)}

= ³ · 10⁰.2(13.0−6) = 1000 мм

	Критерии оценивания.	16
К1.	Верное написанное объяснение, почему разные предельные звездные величины	2
	В случае, если участник подумал, но данное размышление не записал в решение, то за данный пункт балл не выставляется. А следующие этапы оцениваются в полной мере при правильности их решения.
К2.	2× Записи выражений для предельной звездной величины в обоих случях	1
К3.	Проверка случая, что обе ситуации не могут быть при неравнозрачковом увеличении.4 Без проверки данного случая дальнейшие критерии численно правильного решения оце 5 ниваются максимум в баллов (1+1+3)
К4.	Определение диаметра объектива телескопа ± Допустимая точность 200 5 мм	2
К5.	Определение относительного отверстия телескопа	2
К6.	Определение фокусного расстояния объектива телескопа	4

Подборка

10.4 Сказания о проницающей способности

Решение

Решение.

= 3 · 100.2(13.0−6) = 1000 мм

= ³ · 10⁰.2(13.0−6) = 1000 мм