7 ГЛАВНАЯ ИЗ ЦЕФЕИД

Автор: О.С. Угольников

Астрономия 10 класс 2024 Есть решение редакция rv_4919fffda7c3bfb6 ID p_b998bc337274f2fe

Перед Вами — кривые блеска в полосах В и V и гелиоцентрической лучевой скорости звезды δ Цефея — родоначальницы класса переменных звезд — цефеид. По оси абсцисс отложена фаза — время в единицах периода изменения блеска. По этим данным определите минимальный и максимальный радиусы звезды. При решении вы можете воспользоваться диаграммой, на которой показана связь показателя цвета В–V и болометрической поправки с эффективной температурой звезды. Период составляет 5.366 суток. Потемнением звезды к краю, ее вращением и межзвездным поглощением пренебречь.

Решение

Показать решение

7. Решение. Обратим внимание вначале на кривую лучевой скорости. Мы видим, что максимальная лучевая скорость составляет +4 км/с, минимальная –36 км/c. Изменение лучевой скорости от максимума к минимуму и обратно происходит за разное время, однако кривая вполне симметрична относительно горизонтальной оси. Поэтому средняя лучевая скорость звезды –16 км/c характеризует движение самой звезды относительно Солнца, а вариации с амплитудой v = 20 км/с вызваны ее пульсациями.

Лучевая скорость сравнивается с v⁰ при фазах 0.0 и 0.5. В эти моменты скорость, связанная с пульсациями, обращается в ноль, то есть звезда достигает минимального и максимального радиуса. Фаза 0.0 соответствует минимуму радиуса, так как после этого лучевая скорость, связанная с пульсациями, становится отрицательной, то есть звезда начинает расширяться, и поверхность звезды двигается к нам. Обратим внимание, что фаза 0.0 соответствует максимуму блеска звезды, то есть звезда достигает максимального блеска при минимальном радиусе.

Рост лучевой скорости от фазы 0.1 до фазы 0.9 происходит практически линейным образом. Быстрое убывание скорости несколько отлично от линейного, однако влияние нелинейности невелико вследствие кратковременности этой стадии пульсаций. В итоге, при определении максимального и минимального радиуса мы можем считать, что звезда расширяется и сжимается с постоянной средней видимой лучевой скоростью v/2 = 10 км/с.

Но здесь нам нужно учесть, что лучевая скорость, измеренная спектроскопическим способом, не равна физической скорости расширения или сжатия звезды. Мы фиксируем излучение от всего видимого диска звезды. И если ее видимый центр движется к нам со скоростью расширения u, то края не имеют лучевой скорости, связанной с расширением. Мы фиксируем среднюю лучевую скорость по диску звезды, равную k**u, где k – некоторая постоянная величина, меньшая единицы. Ее можно определить с хорошей точностью, достаточной для решения задачи.

К примеру, мы можем рассмотреть окружность на диске звезды с радиусом 1/2~0.7 от видимого радиуса звезды. Эта окружность будет делить диск звезды на две части, равные по площади.

На окружность попадут элементы поверхности звезды, расположенные под углом $45^{\circ}$ относительно линии от центра звезды к наблюдателю. Лучевая скорость этой части будет равна $u/\sqrt{2} \sim 0.7u$ , и мы можем считать это приближением средней скорости. Можно считать, что раз скорость во внутренней части диска меняется от 0.7u до 1.0u., то средняя скорость там составит 0.85u. Во внешней части она составит 0.35u. Средняя скорость по всему диску тогда будет равна 0.6u. Все это — вполне допустимые приближения к точной средней скорости, равной 2u/3 = v/2 = 10 км/с. Таким образом, средняя скорость расширения и сжатия звезды составляет 15 км/с.

Время расширения и сжатия составляет половину периода или 2.683 дня. Умножая его на среднюю скорость, мы получаем разницу максимального и минимального радиусов $\Delta R$ , равную 3.5 млн км.

Отметим теперь моменты достижения минимального и максимального радиуса на кривой блеска звезды и запишем ее фотометрические характеристики:

Фаза	В	V	B-V	$m_{\mathrm{BOL}} - m_{\mathrm{V}}$	$m_{\rm BOL}$	T, K
0.0	3.90	3.45	0.45	0.00	3.45	6300
0.5	4.95	4.10	0.85	-0.10	4.00	5220

Зная температуру и болометрическую звездную величину в оба момента, мы можем записать соотношение радиусов звезды:

\frac{R_{0.5}}{R_{0.0}} = \left(\frac{L_{0.5}}{L_{0.0}} \cdot \frac{T_{0.0}^4}{T_{0.5}^4}\right)^{1/2} = \left(10^{-0.4(m_{0.5} - m_{0.0})} \cdot \frac{T_{0.0}^4}{T_{0.5}^4}\right)^{1/2} \approx 1.13 \approx \frac{8}{7}.

Зная, что в фазе 0.5 радиус на $\Delta R$ =3.5 млн км больше, чем в фазе 0.0, получаем:

R_{0.0} = 7\Delta R = 24.5 \text{ млн км, } R_{0.5} = 8\Delta R = 28.0 \text{ млн км.}

Это соответствует 35 и 40 радиусам Солнца, что весьма близко к истине. Учет межзвездного поглощения увеличит температуру звезды в данные два момента, но мало скажется на радиусах.

Существует еще один способ (хотя и менее логичный с научной точки зрения) получить ответ, если вспомнить, что $\delta$ Цефея – классическая цефеида, и к ней применима зависимость «период – светимость». Она позволяет определить абсолютную звездную величину в максимуме (фаза равна 0.0) в полосе V:

M_{\rm V} = -1.43 - 2.81 \, \lg P = -3.5.

По абсолютной величине в полосе V эта звезда на $8.2^{\rm m}$ ярче Солнца. Болометрическая поправка у цефеиды в максимуме пренебрежительно мала, из чего мы получаем, что звезда в максимуме в 1900 раз ярче Солнца. Найдя по показателю цвета ее температуру (как сделано выше), 6300 K (1.09 температуры Солнца) получаем значение радиуса в максимуме светимости: 37 радиусов Солнца. Сравнив радиусы в максимуме и в фазе 0.5 по формуле, записанной выше, получаем радиус в фазе 0.5: 42 радиуса Солнца. Ответы достаточно близки, но данный метод, как уже сказано выше, менее логичен, так как в реальности зависимость «период-светимость» для цефеид была получена на основе измерений радиусов и светимостей этих звезд, а не наоборот.

Подборка

7 ГЛАВНАЯ ИЗ ЦЕФЕИД

Решение