ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

10.1 Шаровое скопление

Автор: В.Б. Игнатьев

АстрономияРегиональный10 класс2025Есть решение редакция rv_f411f6c7bc9d3dd6 ID p_c9ae03606ea1a059
Предложить исправление

Шаровое звездное скопление содержит 100 тысяч звезд светимостью = 0.5 ⊙ каждая и 80 красных гигантов с абсолютной звездной величиной = −3 . Радиус скопления – 10 пк. Угловой размер скопления – 20′ . Определите:

  • A. Расстояние до скопления. Находится ли данное скопление в нашей Галактике?

  • B. Видимую звездную величину всего скопления.

Межзвездным поглощением и поглощением в земной атмосфере пренебречь.

Решение

Показать решение

Решение. Сначала ответим на первый вопрос задачи и определим расстояние до шарового скопления. Запишем формулу углового размера:

ρ ″ = 206265 ⋅ D r  или  ρ  (радиан)  = D r \rho'' = \frac{206265 \cdot D}{r} \text{ или } \rho \text{ (радиан) } = \frac{D}{r}

Здесь стоит обратить внимание, что угловой размер – это видимый угловой диаметр объекта. – это искомое расстояние до объекта.

Выразим зависимость от расстояния и подставим значения:

r = 206265 ⋅ D ρ ″ = 206265 ⋅ 20  пк ( 20 ⋅ 60 ) ″ = 3440  пк r = \frac{206265 \cdot D}{\rho''} = \frac{206265 \cdot 20 \text{ пк}}{(20 \cdot 60)''} = 3440 \text{ пк}

Расстояние 3440 пк (или 3.4 кпк) меньше, чем радиус Галактики Млечный Путь (около 15 кпк) и радиус звездного гало нашей Галактики (до 30 кпк). Поэтому данное скопление относится к нашей Галактике.

Перейдем ко второму вопросу задачи. Скопление состоит из двух подсистем. Сначала определим звездную величину каждой из подсистем, а потом вычислим звездную величину всего скопления.

Сначала рассмотрим подсистему красных гигантов. Известна абсолютная звездная величина каждой звезды и число таких звезд 1 = 80. Для определения суммарной звездной величины нужно складывать не сами звездные величины, а создаваемые звездами освещенности. Воспользуемся законом Погсона для абсолютных звездных величин и светимостей звезд:

M 1 − M R G = − 2.5 lg E ∑ E R G = − 2.5 lg ( N 1 ) M_1 - M_{RG} = -2.5 \lg \frac{E_{\sum}}{E_{RG}} = -2.5 \lg(N_1)

Подставив известные значения, получим абсолютную звездную величину подсистемы красных гигантов:

M 1 = M R G − 2.5 lg 80 = − 3 − 2.5 lg 80 = − 9.5 m = − 7.76 m M_1 = M_{RG} - 2.5 \lg 80 = -3 - 2.5 \lg 80 = -9.5^m = -7.76^m

Видимую звездную величину получим, используя зависимость между видимой и абсолютной звездной величинами. Так как межзвездного поглощения нет, то она выглядит следующим образом

M − m = 5 − 5 lg ( r ) M - m = 5 - 5\lg(r)

Отсюда

m 1 = M 1 − 5 + 5 lg ( r ) = − 7.76 − 5 + 5 lg ( 3440 ) = 4.92 m m_1 = M_1 - 5 + 5 \lg(r) = -7.76 - 5 + 5 \lg(3440) = 4.92^m

Теперь рассмотрим подсистему обычных звезд. Каждая звезда имеет светимость 0.5 ~ L ⊙ 0.5~L_{\odot} . Полная светимость L 1 L_1 такой подсистемы, состоящей из N 2 N_2 одинаковых звезд, будет равна

L 2 = N ⋅ 0.5 L ⊙ = 10 5 ⋅ 0.5 L ⊙ = 5 ⋅ 10 4 L ⊙ L_2 = N \cdot 0.5 \ L_{\odot} = 10^5 \cdot 0.5 \ L_{\odot} = 5 \cdot 10^4 \ L_{\odot}

Далее видимую звездную величину можно получить двумя способами: через абсолютную звездную величину или через определение освещенности. Оба варианта равноправны. Покажем их оба.

(1) Выразим абсолютную звездную величину Солнца. Для этого запишем формулу Погсона для абсолютных звездных величин. В этом случае отношение освещенностей E будет равно отношению светимостей L, так как в определении абсолютных звездных величин мы считаем, что расстояние до объектов одинаковое (10 пк).

M 2 − M ⊙ = − 2.5 lg L 2 L ⊙ M_2 - M_{\odot} = -2.5 \lg \frac{L_2}{L_{\odot}}

Из справочных данных возьмем абсолютную звездную величину Солнца M ⊙ = 4.79 m M_{\odot} = 4.79^{m} .

M 2 = 4.79 m − 2.5 lg ( 5 ⋅ 10 4 ) = − 6.96 m M_2 = 4.79^m - 2.5 \lg(5 \cdot 10^4) = -6.96^m

Для перехода между видимой и абсолютной звездными величинами воспользуемся формулой

M − m = 5 − 5 lg ( r ) M - m = 5 - 5\lg(r)

Отсюда

m 2 = M 2 − 5 + 5 lg ( r ) = − 6.96 m − 5 + 5 lg ( 3440 ) = 5.72 m m_2 = M_2 - 5 + 5 \lg(r) = -6.96^m - 5 + 5 \lg(3440) = 5.72^m

(2) Рассмотрим второй вариант решения этого пункта. Освещенность объекта связана с его светимостью, как E = L / 4 π r 2 E=L/4\pi r^2 . Следовательно можно определить освещеность объекта, а при использовании формулы Погсона сравнить освещенность объекта с освещенностью от известного нам объекта, например, Солнца.

m 2 − m ⊙ = − 2.5 lg E 1 E ⊙ = − 2.5 lg 5 ⋅ 10 4 ⋅ L ⊙ 4 π r 2 E ⊙ m_2 - m_{\odot} = -2.5 \lg \frac{E_1}{E_{\odot}} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot L_{\odot}}{4\pi r^2 E_{\odot}}

В принципе, уже при такой записи все величины под логарифмом являются или табличными значениями или известными по ходу решения задачи. В справочных данных можно взять видимую звездную величину Солнца, светимость Солнца и солнечную постоянную E ⊙ E_{\odot} . Если же участнику сразу не очевидно, чему равна освещенность Солнца на удалении 1 а.е, ее можно выразить через светимость Солнца:

m 2 − m ⊙ = − 2.5 lg 5 ⋅ 10 4 ⋅ L ⊙ 4 π r 2 E ⊙ = − 2.5 lg 5 ⋅ 10 4 ⋅ L ⊙ 4 π r 2 L ⊙ 4 π a ⊕ 2 = − 2.5 lg 5 ⋅ 10 4 ⋅ a ⊕ 2 r 2 m_2 - m_{\odot} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot L_{\odot}}{4\pi r^2 E_{\odot}} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot L_{\odot}}{4\pi r^2 \frac{L_{\odot}}{4\pi a_{\oplus}^2}} = -2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot a_{\oplus}^2}{r^2}

Такая запись позволит уменьшить вероятность арифметических ошибок, а при подстановке численных значений ее можно еще упростить:

m 2 = m ⊙ − 2.5 lg 5 ⋅ 10 4 ⋅ ( 1 / 206265  nK ) 2 ( 3440  nK ) 2 = m ⊙ − 2.5 log 5 ⋅ 10 4 206265 2 ⋅ 3440 2 = − 26.8 m + 32.51 m = 5.71 m m_2 = m_{\odot} - 2.5 \lg \frac{5 \cdot 10^4 \cdot (1/206265 \text{ nK})^2}{(3440 \text{ nK})^2} = m_{\odot} - 2.5 \log \frac{5 \cdot 10^4}{206265^2 \cdot 3440^2} = -26.8^m + 32.51^m = 5.71^m

Теперь перейдем к определению видимой звездной величины всего скопления. У нас есть две подсистемы звезд, имеющие видимые звездные величины m 1 m_1 и m 2 m_2 . Суммарную звездную величину будем определять, складывая освещенности, а не звездные величины.

E ∑ = E 1 + E 2 E_{\sum} = E_1 + E_2

Запишем формулу Погсона:

m ∑ − m 2 = − 2.5 lg E ∑ E 2 = − 2.5 lg E 1 + E 2 E 2 = − 2.5 lg ( 1 + E 1 E 2 ) m_{\sum} - m_2 = -2.5 \lg \frac{E_{\sum}}{E_2} = -2.5 \lg \frac{E_1 + E_2}{E_2} = -2.5 \lg (1 + \frac{E_1}{E_2})

Отношение освещенностей E 1 / E 2 E_1/E_2 можно выразить через формулу Погсона и звездные величины m 1 m_1 и m 2 m_2 , которые уже известны.

m ∑ − m 2 = − 2.5 lg ( 1 + 10 − 0.4 ( m 1 − m 2 ) ) m_{\sum} - m_2 = -2.5 \lg(1 + 10^{-0.4(m_1 - m_2)})

Подставляем значения:

m ∑ = 5.72 m − 2.5 lg ( 1 + 10 − 0.4 ( 4.92 − 5.72 ) ) = 5.72 m − 2.5 lg ( 1 + 2.089 ) = 5.72 m − 1.22 m = 4.50 m m_{\sum} = 5.72^m - 2.5 \lg(1 + 10^{-0.4(4.92 - 5.72)}) = 5.72^m - 2.5 \lg(1 + 2.089) = 5.72^m - 1.22^m = 4.50^m

Обратим внимание, что при записи формулы Погсона можно сравнивать с любой из звездных величин ( m 1 ; m 2 ) (m_1; m_2) . Но, как правило, удобнее использовать более тусклый объект.

𝐊 𝐩 𝐫 \mathbf{K}\mathbf{p}\mathbf{r} итерии оценивания.16
K1.Запись формулы углового размера1
K2.Определение расстояние до скопления3
Ошибка в 2 раза из-за подстановки радиуса вместо диаметра
В случае, если расстояние найдено неверно, дальнейшее решение участника оценивается,
исходя из значений, полученных участником. При этом максимальная оценка по критерию
4 остается без изменений
Если найденное расстояние получилось менее 10 пк (радиус скопления), оценка по крите-
рию 4 равна 0 баллов. Никакие промежуточные баллы из данных критериев в этом случае
не выставляются даже при их наличии и верном выполнении.
K3.Обоснованное утверждение, что скопление находится в Галактике Млечный путь2
Дан только правильный ответ без обоснования
K4 .Определение видимой звездной величины скопления. 10
Запись формулы M − m M-m и расстояния
Подсистема красных гигантов. Определение абсолютной звездной величины 1
Определение видимой звездной величины подсистемы красных гигантов 2
Подсистема обычных звезд. Суммарная светимость
Подсистема обычных звезд. Абсолютная звездная величина (или освещенность)1
Подсистема обычных звезд. Определение видимой звездной величины
Определение общей звездной величины скопления. Метод сложение освещенностей 1
Определение общей звездной величины скопления. Полученный численный ответ 1