ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 5

Автор: Е.Н. Фадеев

АстрономияРегиональный9 класс2018Есть решение редакция rv_1304101bcf90bf48 ID p_cc1efeb9902938c7
Предложить исправление

Предположим, что все звезды на небе, как и полагали в древности, расположены на большой хрустальной сфере, движущейся вокруг Земли и тем самым создающей эффект суточного вращения. Какой должен быть радиус такой небесной сферы (в астрономических единицах), чтобы ее линейная скорость на экваторе была равна скорости света?

Анаксимандр из Милета при этом считал, что звезды — это дыры в небе, через которые виден "небесный огонь". Угловой диаметр звезды Канопус равен 0".0069. Мог бы человек тогда пролезть в "дыру", соответствующую Канопусу?

Предположим далее, что звезды – это постоянные источники света, а звездные сутки на Земле увеличиваются на 2 мс за 100 лет. Какова скорость расширения хрустальной сферы, если ее линейная скорость вращения на экваторе постоянна и равна скорости света? На сколько звездных величин потускнели бы звезды со времен Анаксимандра (за 2600 лет)?

Решение

Показать решение

На данный момент Земля поворачивается вокруг своей оси за T 0 = 23 T_0 = 23 ч56м, т.е. ее угловая скорость равна 2 π / ( 86160  c ) = 7.3 ⋅ 10 − 5  рад/с 2\pi/(86160 \text{ c}) = 7.3 \cdot 10^{-5} \text{ рад/с} . В нашей модели Земля неподвижна, а крутится сама небесная сфера с такой же угловой скоростью. Отсюда получаем расстояние, на котором линейная скорость такого вращения достигает скорости света:

R 0 = c ⋅ T 0 2 π = 4.1 ⋅ 10 12 M = 27.5  a.e. R_0 = \frac{c \cdot T_0}{2\pi} = 4.1 \cdot 10^{12} \,\text{M} = 27.5 \text{ a.e.}

Выходит, что радиус небесной сферы должен быть немного меньше среднего расстояния до Нептуна. На таком расстоянии угловому размеру 0".0069 соответствует линейный размер R 0 R_0 ·(0.0069/206265)=140 км. Это расстояние более чем достаточно для прохода человека. Далее, продолжительность звездных суток меняется на Земле линейно по формуле

T ( t ) = T 0 + T ˙ t . T(t) = T_0 + \dot{T}t.

Здесь T 0 T_0 – продолжительность суток в некий начальный момент времени, T ˙ \dot{T} - скорость ее изменения. Тогда радиус хрустальной сферы меняется по закону

R = c 2 π T ( t ) = c 2 π ( T 0 + T ˙ t ) = R 0 + c T ˙ 2 π t , R = \frac{c}{2\pi}T(t) = \frac{c}{2\pi}(T_0 + \dot{T}t) = R_0 + \frac{c\dot{T}}{2\pi}t,

то есть увеличивается линейно со скоростью

V = c T ˙ 2 π = 0.95  км/год. V = \frac{c\dot{T}}{2\pi} = 0.95 \text{ км/год.}

Здесь R 0 R_0 – начальный радиус сферы. Наконец, за 2600 лет звезды удалились на расстояние Δ R \Delta R =2470 км = 1.65 ⋅ 10 − 5 1.65 \cdot 10^{-5} а.е. Воспользовавшись формулой Погсона, получаем изменение звездной величины:

Δ m = − 2.5 lg ( R 0 − Δ R R 0 ) 2 = − 5 lg ( 1 − Δ R R 0 ) ≈ 2.16 Δ R R 0 = 0.0000013 m . \Delta m = -2.5 \lg \left( \frac{R_0 - \Delta R}{R_0} \right)^2 = -5 \lg \left( 1 - \frac{\Delta R}{R_0} \right) \approx 2.16 \frac{\Delta R}{R_0} = 0.0000013^m.
  • 5. Система оценивания. Каждый из четырех вопросов задачи оценивается в 2 балла. Один балл выставляется за правильный вывод формулы, второй за вычисления и конечный ответ. В последнем вопросе одинаково верно оценивается и утверждение о том, что блеск заметно или почти совсем не изменится, и вычисление малого изменения блеска. Если в качестве периода вращения сферы звезд берутся солнечные сутки (24 часа), то оценка за первый этап снижается на 1 балл, оставшиеся этапы оцениваются в полной мере (максимальная оценка 7 баллов).