ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

АстрономияРегиональный9 класс2015Есть решение редакция rv_1b49004c8be338f9 ID p_ccdc1edadf8a578e
Предложить исправление

На Марсе решено построить вышку, с которой всегда были бы видны его спутники Фобос и Деймос. Какова минимальная высота такого строения? Куда его лучше всего поставить? Атмосферной рефракцией и ослаблением света, угловыми размерами и наклоном орбит спутников к плоскости экватора Марса пренебречь.

Решение

Показать решение

Коль скоро мы пренебрегаем наклоном орбит спутников к экватору Марса (в действительности он очень мал, порядка 1°), спутники обращаются вокруг Марса в плоскости его экватора. Периоды вращения спутников не совпадают с осевым периодом вращения Марса, и в разное время они будут располагаться над разными меридианами Марса. Так как стоит задача постоянного наблюдения спутников с вышки, ее имеет смысл строить там, где нижняя кульминация спутников происходит наименее глубоко под горизонтом. Этому условию в пределе удовлетворяют полюса Марса, где спутники будут располагаться на постоянной глубине под горизонтом. Находись они бесконечно далеко от планеты, они появились бы на горизонте при наблюдении с поверхности. Но в реальности спутники (особенно Фобос) близки к Марсу и оказываются ниже вследствие эффекта суточного параллакса.

Обозначим радиус Марса через R, радиус орбиты Фобоса через L, минимальную высоту вышки через h. Из рисунка мы можем записать соотношение

cos α = D L = L 2 − R 2 L = R R + h . \cos\alpha = \frac{D}{L} = \frac{\sqrt{L^2 - R^2}}{L} = \frac{R}{R + h}.

Отсюда мы получаем выражение для минимальной высоты вышки:

h = L R L 2 − R 2 − R = R ( 1 1 − ( R / L ) 2 − 1 ) . h = \frac{LR}{\sqrt{L^2 - R^2}} - R = R \left( \frac{1}{\sqrt{1 - (R/L)^2}} - 1 \right).

Подставляя численные данные для Марса и Фобоса, получаем значение высоты: 247 км. С вершины такой башни всегда будет виден Фобос и, очевидно, Деймос, так как он расположен дальше, и его суточный параллакс меньше (см. рисунок).