10.6 Комета C/2023 A3 (Tsuchinshan-Atlas) у горизонта

Автор: Ю.П. Филиппов

Астрономия Региональный 10 класс 2025 Есть решение редакция rv_6e7a82950b296a49 ID p_d2ba97be4b06e575

На рисунке (следующая страница) представлена фотография (черно-белый негатив) яркой кометы C/2023 A3 (Tsuchinshan-Atlas), полученная в момент прохождения Земли через плоскость ее орбиты 14 октября 2024 года в 20 часов 00 минут по всемирному времени. На фотографию наложена сетка экваториальных координат, проведена линия математического горизонта и указаны три наиболее ярких звезды в окрестности точки наблюдения (с усилением их яркости). В таблице ниже представлены экваториальные координаты этих звезд.

Название	Прямое восхождение	Склонение
Звезда 1: 109 Vir	14ℎ47𝑚29𝑠	01∘47′25′′
Звезда 2: 11 Lib	14ℎ52𝑚17𝑠	∘24′02′′ −2
Звезда 3: 110 Vir	15ℎ04𝑚08𝑠	∘59′45′′ 1

Определите:

A. Угловые размеры участка неба, запечатленного на фотографии, и погрешности их определения.
B. Время суток, когда была выполнена фотосъемка
C. Географические координаты места фотосъемки кометы и погрешности их определения.

Осеннее равноденствие в 2024 году наступило 22 сентября в 12 часов 44 минуты по всемирному времени. Уравнением времени в расчетах следует пренебречь.

Нижняя кромка кадра совпадает с математическим горизонтом; указано положение небесного экватора, головы кометы (H), наиболее протяженной видимой части (HT) пылевого хвоста кометы, видимой части антихвоста кометы (HA), ориентированного строго «на Солнце».

При расчете погрешностей определения искомых величин в качестве абсолютной погрешности измерения длины какого-либо отрезка на фотографии следует принимать цену деления линейки (1 мм).

Решение

Показать решение

Решение. Для начала определим, в какое время суток была проведена сьемка. На фотографии мы видим одну из точек пересечения небесного экватора с горизонтом. Это либо точка востока, либо точка запада. Поскольку небесный экватор проходит из верхнего левого в нижний правый угол кадра, точка пересечения может быть либо точкой востока при наблюдении из южного полушария, либо точкой запада в северном полушарии.

По значениям склонений указанных на фотографии звезд можно понять, что в левой части горизонта расположено южное небесное полушарие (склонение звезды 11 Lib отрицательно), а в правой части – северное (склонения звезд 109 Vir и 110 Vir положительны), то есть точка севера будет справа по горизонту от рассматриваемой точки, а северный полюс мира – над горизонтом. Следовательно, наблюдатель находится в северном полушарии и видит окрестности точки запада. Участок неба расположен в западной части горизонта, снимок сделан вечером после захода Солнца.

Чтобы ответить на все следующие вопросы задачи нам необходимо определить угловой масштаб изображения . Для этого воспользуемся линейкой.

Рассмотрим треугольник из данных звезд. Заметим, что угловые размеры его сторон небольшие, значит, данный треугольник можно считать плоским. При этом треугольник находится буквально на небесном экваторе. Определим угловые размеры сторон треугольника с использованием теоремы Пифагора и линейные их размеры на фотографии:

\theta_{12} = \sqrt{(\delta_1 - \delta_2)^2 + 15^2 \cdot (\alpha_1 - \alpha_2)^2} = 4.359^{\circ}

\theta_{23} = \sqrt{(\delta_C - \delta_B)^2 + 15^2 \cdot (\alpha_C - \alpha_B)^2} = 5.301^{\circ}

\theta_{13} = \sqrt{(\delta_3 - \delta_1)^2 + 15^2 \cdot (\alpha_3 - \alpha_C)^2} = 4.167^{\circ}

В этих формулах коэффициент 15² возник при переводе часовой меры угла (для прямого восхождения) в градусную меру угла. Поскольку все звезды находятся всего в нескольких градусах от небесного экватора, множитель cos настолько близок к единице, что его можно не учитывать.

Линейные размеры¹

\ell_{12}=46\pm1 \text{ мм } \ell_{23}=55\pm1 \text{ мм } \ell_{13}=43\pm1 \text{ мм}

Найдем масштаб и погрешность его измерения, используя формулу ∆¹² = ¹² Δℓ¹² ℓ¹²

\mu_{12} = \frac{\theta_{12}}{\ell_{12}} = \frac{4.359^{\circ}}{46} = 0.095 \frac{\circ}{MM} = 5.686 \frac{\prime}{MM}

\mu_{23} = \frac{\theta_{23}}{\ell_{23}} = \frac{5.301^{\circ}}{55} = 0.096 \frac{\circ}{MM} = 5.782 \frac{\prime}{MM}

¹У участника могут быть сняты размеры в другом масштабе. Настоятельно рекомендуем проверяющим проверить точность снятия размеров участниками по реальным материалам, напечатанным в пункте проведения олимпиады.

\mu_{13} = \frac{\theta_{13}}{\ell_{13}} = \frac{4.167^{\circ}}{43} = 0.097 \frac{\circ}{\text{MM}} = 5.814 \frac{\prime}{\text{MM}}

\mu = \frac{\mu_{12} + \mu_{23} + \mu_{13}}{3} = \frac{5.686 + 5.782 + 5.814}{3} = 5.761 \frac{\prime}{\text{MM}} = 0.096 \frac{\circ}{\text{MM}}

Выполним оценку абсолютной $\Delta \mu$ и относительной $\varepsilon_{\mu}$ погрешностей определения величины $\mu$ . Цена деления стандартной линейки $\ell_0 = 1$ мм, тогда абсолютная $\Delta \mu_{ij}$ и относительная $\varepsilon_{i,j}$ погрешности масштаба $\mu_{ij}$ (здесь индексы i и j пробегают значения 1,2,3) будут равны

\mu_{ij} \pm \Delta \mu_{ij} = \frac{a_{ij}}{\ell_{ij} \pm \ell_0} = \frac{a_{ij}}{\ell_{ij}(1 \pm \ell_0/\ell_{ij})} \approx \frac{a_{ij}}{\ell_{ij}} \left(1 \mp \frac{\ell_0}{\ell_{ij}}\right) \approx \mu_{ij} \left(1 \mp \frac{\ell_0}{\ell_{ij}}\right)

Абсолютная погрешность $\Delta \mu$ величины $\mu$

\Delta \mu_{ij} = \mu_{ij} \frac{\ell_0}{\ell_{ij}},

Относительная погрешность $\varepsilon_{\mu}$ величины $\mu$

\varepsilon_{i,j} = \frac{\Delta \mu_{ij}}{\mu_{ij}} \cdot 100\% = \frac{\ell_0}{\ell_{ij}} \cdot 100\%.

При записи последнего результата мы учли, что $(\ell_0/\ell_{ij}) \ll 1$ . Тогда относительная $\varepsilon_\mu$ и абсолютная $\Delta\mu$ погрешности можно записать так:

\begin{split} \varepsilon_{\mu} &= \frac{1}{3}(\varepsilon_{12} + \varepsilon_{13} + \varepsilon_{23}) = \frac{\ell_0}{3} \left(\frac{1}{\ell_{12}} + \frac{1}{\ell_{13}} + \frac{1}{\ell_{23}}\right) = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{46} + \frac{1}{55} + \frac{1}{43}\right) = 0.021 \approx 2.1\% \\ \Delta \mu &= \frac{\varepsilon_{\mu}}{100\%} \cdot \mu = 0.121'/\text{MM}. \end{split}

Окончательно масштаб кадра будет равен:

\mu \pm \Delta \mu = 5.761 \pm 0.121 \frac{'}{MM} = 0.096 \pm 0.002 \frac{\circ}{MM}

Далее при помощи линейки измерим линейные размеры фотографии: $a \times b = 220 \times 148$ мм. Соответствующие угловые размеры участка небосвода, запечатленного на фотографии, равны

b_x = 148 \pm 1 \text{ mm} \rightarrow b = \mu x = 5.761 \cdot 148 = 852.63' = 14.211^\circ \qquad a_y = 220 \pm 1 \text{ mm} \rightarrow a = \mu x = 5.761 \cdot 220 = 1267.42' = 21.124^\circ

Следовательно, угловой размер кадра составляет 21.12° × 14.21°.

Представим общий алгоритм оценки погрешностей измеряемой угловой величины на примере абстрактной величины X. Погрешность складывается из погрешности измерения

самой величины линейкой ℓ⁰ и погрешности определения масштаба, при помощи которого мы переводим измеряемые линейкой величины в угловые величины:

X \pm \Delta X = (L \pm \ell_0) \cdot (\mu \pm \Delta \mu) \approx (L \cdot \mu) \left( 1 + \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = X \left( 1 + \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right)

Абсолютная погрешность величины равна

\Delta X = X \left( \frac{\ell_0}{L} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right),\,

а относительная погрешность величины равна

\varepsilon_X = \frac{\Delta X}{X} \cdot 100\% = \frac{\ell_0}{L} \cdot 100\% + \frac{\Delta \mu}{\mu} \cdot 100\% = \varepsilon_L + \varepsilon_\mu \qquad \Delta X = X \cdot \frac{\varepsilon_X}{100\%}

Таким образом, относительная погрешность измеряемой величины равна сумме относительных погрешностей величин, через которые она непосредственно определяется, и подлежащих определению по фотографии.

Абсолютная погрешность искомых величин и определяется через относительную по выведенной выше формуле:

\Delta a = a \left( \frac{\ell_0}{L_a} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = 21.12^{\circ} \left( \frac{\ell_0}{220} + \frac{0.121}{5.761} \right) = 0.540^{\circ} \approx 0.54^{\circ}.

\Delta b = b \left( \frac{\ell_0}{L_b} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = 14.21^{\circ} \left( \frac{\ell_0}{148} + \frac{0.121}{5.761} \right) = 0.394^{\circ} \approx 0.39^{\circ}.

Определим численные результаты для искомых угловых размеров и их погрешностей:

a \pm \Delta a = 21.12^{\circ} \pm 0.54^{\circ},

b \pm \Delta b = 14.21^{\circ} \pm 0.39^{\circ}.

Определим широту места наблюдения.

Первый, более грубый способ ее определения – прибегнуть к помощи транспортира. Острый угол между математическим горизонтом и небесным экватором равен = 60^∘±1 ∘ (здесь учтено, что цена деления стандартного транспортира равна 1 ∘ ). С другой стороны, = 90^∘ − ||, где – географическая широта места фотосъемки. Очевидно, такая взаимная ориентация экватора и горизонта в окрестности точки запада характерна лишь для северного полушария.

Отсюда = 30^∘ ± 1 ∘

Второй способ состоит в нахождении угла прямоугольного треугольника, образованного углом снимка, точкой запада, гипотенузой небесного экватора и точкой Y пересечения вертикальной стороны снимка и небесного экватора. Длина катета OY равна = 203 мм, а длина гипотенузы XY равна = 232 мм

Определим угол при вершине Y. Так как треугольник XOY прямоугольный, а угол при вершине X равен 90^∘ − , угол при вершине Y будет равен .

\cos \varphi = \frac{203}{232} \to \varphi = \arccos\left(\frac{203}{232}\right) = 28.955^{\circ} \text{ с.ш.} \qquad \ell_{OY} = \mu \cdot L_{OY} = 5.761 \cdot 203 = 1169.483' \approx 19.491^{\circ}, \quad \ell_{XY} = \mu \cdot L_{XY} = 5.761 \cdot 232 = 1336.552' \approx 22.276^{\circ}.

Ошибки измерения сторон составят:

\Delta \ell_{OY} = \ell_{OY} \left( \frac{\ell_0}{L_{OY}} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = 19.491 \left( \frac{1}{203} + \frac{0.121}{5.761} \right) = 0.505^{\circ},

\Delta \ell_{XY} = \ell_{XY} \left( \frac{\ell_0}{L_{XY}} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = 22.276 \left( \frac{1}{232} + \frac{0.121}{5.761} \right) = 0.564^{\circ}.

Так как наши измерения сторон независимы друг от друга, то суммарную погрешность определения широты можно найти следующим образом:

\Delta \varphi = \sqrt{\Delta \ell_{OY}^2 + \Delta \ell_{XY}^2} = \sqrt{0.505^2 + 0.564^2} \approx 0.757^{\circ}.

Широта места наблюдения:

\varphi = 28.955^{\circ} \pm 0.757^{\circ} \text{ с.ш. } \rightarrow \varphi = 28^{\circ}57'18'' \pm 45'25'' \text{ с.ш.}

Определим долготу места наблюдения. Для определения географической долготы места съемки воспользуемся формулой связи между долготами и звездным временем – разность долгот мест наблюдения равна разности звездных времен в этих местах. Будем искать долготу, опираясь на гринвический меридиан ⁰ = 0^∘ :

\lambda - \lambda_0 = s - s_{GR}

Местное среднее солнечное время связано со звездным временем:

(T_m - T_0) = k'(s - s_0) \text{, где } k' = \frac{86164}{86400} = 0.997269,

здесь – местное звездное время на момент съемки, ⁰ – местное звездное время на начало средних солнечных суток. Определим параметры и 0. Звездное время равно прямому восхождению светил, находящихся в данный момент в верхней кульминации (над точкой юга). Из определения звездного времени следует, что в момент верхней кульминации оно равно

прямому восхождению кульминирующего светила. И если светило находится на небесном экваторе,

s = 6^h + \alpha_W.

Здесь – прямое восхождение точки небосвода, которая в момент съемки совпала с точкой запада. Последнюю величину определим как

\alpha_W = \alpha_3 - L_2 \cdot \mu = 15^h 04^m 08^s - \frac{5.761' \cdot 129}{60 \cdot 15} = 15^h 04^m 08^s - 49^m 33^s = 14^h 14^m 35^s.

Здесь ² = 129 мм – расстояние между звездой 3 и точкой запада (W), отсчитываемое вдоль экватора. Тогда

s = 20^h 14^m 35^s

Известно, что в момент осеннего равноденствия звездное время совпадает со средним солнечным временем. Существует простое правило: Солнце кульминирует в полдень по среднему солнечному времени, и его прямое восхождение тоже равно 12^ℎ . Но каждые следующие звездные сутки наступают раньше предыдущих. В каждых средних солнечных сутках содержится 86400/′ = 86636.7 звездных секунд, что больше одних звездных суток на 236.7 звездных секунд. Тогда от момента осеннего равноденствия до начала местной полуночи 14 октября на меридиане Гринвича прошло

\Delta \tau = 21^d 11^h 16^m = 21.4695 \text{ cyr}

За это время начало звездных суток сместится относительно начала средних солнечных суток на величину:

s_0 = 236.7 \cdot 21.4695 = 1.4116^h = 1^h 24^m 42^s.

Звездное время на гринвичском меридиане в момент 20^ℎ00 (момент фотографии) будет равно

s_{GR} = s_0 + \frac{20^h 00}{k'} = 1^h 24^m 42^s + 20^h 3^m 17^s = 21^h 27^m 59^s

Тогда разность долгот между точкой наблюдения и гринвическим меридианом составляет

\lambda - \lambda_0 = s - s_{GR} = 20^h 14^m 35^s - 21^h 27^m 59^s = -1^h 13^m 24^s,

\lambda = -01^h 13^m 24^s = 18^{\circ} 21' \text{ з.д.}

Определим погрешность измерения долготы. Погрешность определения долготы возникает из-за ошибки определения прямого восхождения точки Запада. Говоря еще точнее, это ошибка

определения величины $\alpha_a - \alpha_W = \mu \cdot L_2$ , поскольку далее к ней добавляются только известные константы.

\Delta(\mu \cdot L_2) = \mu \cdot L_2 \left( \frac{\ell_0}{L_2} + \frac{\Delta \mu}{\mu} \right) = \frac{5.761' \cdot 129}{60} \left( \frac{1}{129} + \frac{0.121}{5.761} \right) = 0.3562^{\circ} \approx 0.36^{\circ}.

Следовательно долгота равна

\lambda = 18^{\circ}21' \pm 0.36^{\circ} = 18^{\circ}21' \pm 21' \text{ з.д.}

Округление полученных результатов: В этом месте решения наступил момент произвести округления полученных результатов. Делать это раньше не стоило, так как в этом случае к промежуточным величинам добавились бы еще ошибки округления. Выбор точности для округления результатов дает величина абсолютной погрешности. По общим правилам, в значении погрешности разумно оставлять одну значащую цифру. Две значащие цифры в погрешности можно оставлять в случае, если произведены особо точные измерения, или в старшем разряде погрешности цифра 1.

Итоговые ответы:

А. Угловые размеры участка неба запечатленного на фотографии $(21.1^{\circ}\pm0.6^{\circ})\times(14.2^{\circ}\pm0.4^{\circ})$
В. Фотосъемка была выполнена вечером спустя небольшое время после захода Солнца.
С. Географические координаты места фотосъемки кометы:

\varphi = 29^{\circ} \ 00' \pm 50' \ \text{с.ш.}

\lambda = 18^{\circ} \ 20' \pm 20' \text{ з.л.}

Критерии оценивания. 20 Комментарии к системе оценивания. Каждая арифметическая ошибка, не приводящая к явно нелепому ответу, снижает оценку за соответствующий пункт на 1 балл. Максимальная оценка последующих пунктов при этом не снижается, если это не указано отдельно. К1. Масштаб фотографии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Измерены линейные расстояния между 2 или 3 звездами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определены угловые расстояния между звездами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определена величина масштаба в диапазоне 5.8 ± 0.2 '/мм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определена погрешность масштаба. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Если масштаб определен по одному угловому расстоянию между звездами, за К1 ставится не более 2 = 0 + 0 + 1 + 1 баллов, при условии попадания ответов в заданный интервал и расчета погрешности. На дальнейшее решение задачи и его оценивание это не влияет. Вероятная ошибка: участник не перевел координаты прямого восхождения из временных единиц в угловые. В этом случае К1 не оценивается, но остальные пункты оцениваются, исходя из значения масштаба, полученного участником. Максимальная оценка за К3-5 на один балл меньше, чем при верном нахождении масштаба. К2. Угловой размер фотографии с погрешностями измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Определен размер по большой оси ∈ [20.5 ∘ ; 22^∘ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определен размер по малой оси ∈ [13.5 ∘ ; 15^∘ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определена погрешность размера по большой оси a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Определена погрешность размера по малой оси b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Если погрешности измерений и найдены упрощенным методом только из погрешности линейки без учета погрешности определения масштаба, то из двух баллов за погрешности выставляется только 1. К3. Время съемки – вечер, спустя небольшое время после захода Солнца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Найдено и обосновано качественно/количественно – вечер после захода Солнца . . . . . . . . . 2 Важными моментами в обосновании являются указания на нахождение Солнца в южном полушарии и ссылка на положение звезд с известными координатами. Если корректное обоснование отсутствует, но ответ верен, то выставляется 1 балл. Необоснованными считаются аргументы: «очевидно», «из фотографии следует», «легко увидеть». К4. Географические координаты. Широта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Получено значение широты в диапазоне [+28^∘ ; 31^∘ ] с.ш. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если использовался только транспортир, за предыдущий пункт выставляется 1 балл Определена погрешность нахождения географической широты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 К5. Географические координаты. Долгота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ниже описаны действия, которые должны выполнить участники. Определено прямое восхождение точки W. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Определено звездное время на момент фотографии или начало суток 14 октября . . . . . . . . 2 Учтена разница в длительности звездных и солнечных суток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Получено численное значение долготы в диапазоне [−20^∘ ; −16^∘ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Если в определении долготы не учитывается смещение начала звездных суток, выставляется только 1 Определена ошибка нахождения географической долготы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Если ошибки измерений географической широты и долготы найдены только из погрешности линейки или транспортира, без учета погрешности определения масштаба, то из двух

баллов за погрешности широты и долготы выставляется только 1

Подборка

10.6 Комета C/2023 A3 (Tsuchinshan-Atlas) у горизонта

Определите:

Решение

Итоговые ответы: