ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

Автор: А. А. Автаева

АстрономияРегиональный9 класс2023Есть решение редакция rv_3b3cf831f2ebfc0f ID p_dc58151b10835ddf
Предложить исправление

В серии книг «Космоолухи» цивилизация нашла способ сильно сократить время перемещения по Вселенной. Космические корабли могут совершить прыжок в пространстве очень быстро на любое расстояние до 0.5 кпк. Главные герои занимаются грузоперевозками. В какой-то момент они стартуют с Земли и имеют заказы к планетам или астероидам около звезд: Алькор, Звезды Людвига и α Малой Медведицы. Они хотят пройти кратчайшим путем, завезя все заказы и вернувшись на родную планету, Новый Бойбруйск, до Нового Года. Постройте для них трассу (порядок звезд, в котором им надо лететь) и посчитайте длину этой трассы. Вам дана вырезка из навигационного атласа XXV века.

ЗвездаПрямое восхождениеСклонениеПараллакс
Алькор13ч 25м+54° 59′0.0399″
Звезда Людвига13ч 25м+54° 53′0.0109″
α Малой Медведицы02ч 31м+90° 00′0.0073″
Новый Бойбруйск01ч 25м+73° 00′0.0050″

Решение

Показать решение

Найдём расстояния от Земли до всех этих объектов:

r ( Π K ) = 1 π ″ , r(\Pi K) = \frac{1}{\pi''},

где π – параллакс.

Алькорзв. ЛюдвигаПолярнаяНБ
Расстояние от Земли25.06 пк91.74 пк137 пк200 пк

Найдём угловое расстояние попарно между всеми звёздами, при наблюдении с Земли. Заметим, что у нас есть Полярная звезда (α Малой Медведицы), склонение которой дано как +90° 00′, а значит, её прямое восхождение значения не имеет, и угловое расстояние от неё до всех звёзд, это просто полярное расстояние. Также заметим, что Алькор и Звезда Людвига лежат на одном меридиане, также, как и Новый Бойбруйск (НБ). Тогда угловое расстояние между звёздами по одну сторону от полюса равно разности их склонений, и сумме полярных расстояний для звёзд по разную сторону от полюса. Итого:

Угол βАлькорзв. ЛюдвигаПолярнаяНБ
Алькор000° 06′35° 01′52° 01′
зв. Людвига00° 06′035° 07′52° 07′
Полярная35° 01′35° 07′017° 00′
НБ52° 01′52° 07′17° 00′0

Нам известны расстояния до звёзд и угол между ними β. Воспользуемся теоремой косинусов, чтобы найти расстояние между звёздами:

r = r 1 2 + r 2 2 − 2 ⋅ r 1 r 2 cos β . r = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 \cdot r_1 r_2 \cos \beta}.

Итого:

Взаимные
расстояния		Алькорзв. ЛюдвигаПолярнаяНБ
Земля25.06 пк91.74 пк137 пк200 пк
Алькор066.68 пк117.34 пк185.63 пк
зв. Людвига66.68 пк081.38 пк160.88 пк
Полярная117.34 пк81.38 пк079.78 пк
НБ185.63 пк160.88 пк79.78 пк0

Все расстояния меньше 0.5 кпк, значит просто считаем минимальную трассу, не забывая, что Новый Бойбруйск должен оказаться в конце:

СтартПервая
остановка		Вторая
остановка		Третья
остановка		Итоговая
длинна пути
до НБ, пк
ЗемляАлькорзв. ЛюдвигаПолярная252.9
Полярнаязв. Людвига384.7
зв. ЛюдвигаАлькорПолярная355.5
ПолярнаяАлькор476.1
ПолярнаяАлькорзв. Людвига481.9
зв. ЛюдвигаАлькор470.7

Минимальная длина трассы составляет 252 пк (Земля – Алькор – звезда Людвига – Полярная – Новый Бойбруйск).

Решение задачи можно облегчить, аккуратно нарисовав чертеж. Тогда все расстояния между звездами можно просто измерить линейкой, а наикратчайшая трасса (выделена на рисунке) становится очевидной.