ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача без названия

АстрономияЗаключительныйКлассы неизвестны2021БлицЕсть решение редакция rv_4e175d8cee546e9a ID p_dcab5c41d178b5df
Предложить исправление

Условие. Расположите небесные тела по величине минимальной длительности облета по устойчивой круговой орбите без включенных двигателей, от самого короткого до самого длительного облета:

A – Меркурий, B – Земля, C – Каллисто, D – Титан, E – черная дыра в центре галактики M87. Массу черной дыры считать равной 10 9 10^9 масс Солнца. Движение по устойчивой орбите вокруг черной дыры возможно на расстоянии, не меньшем трех гравитационных радиусов центрального тела.

Комментарий только для 9 класса: черной дырой считается объект, сжавшийся до своего горизонта событий, формальное значение второй космической скорости на котором в представлении классической физики сравнивается со скоростью света. Радиус горизонта называется гравитационным радиусом тела.

Ответ

Показать ответ

Ответ на задание: A, B, C, D, E.

Решение

Показать решение

Решение. Представим себе наиболее простую ситуацию, когда тело имеет шарообразную форму с радиусом R и лишено атмосферы. Тогда минимальное время облета будет соответствовать круговой орбите с радиусом R и составит

T = 4 π 2 R 3 G M = 3 π G ρ . tag 1 T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^3}{GM}} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}. \tag{1}

Здесь M — масса центрального тела, ρ \rho — его средняя плотность. Именно последняя величина и определяет орбитальный период в данном, наиболее простом случае. Казалось бы, для решения задачи нам нужно расставить все тела в порядке убывания средней плотности. Но обратим внимание, что плотность Меркурия ρ A \rho_A лишь немногим меньше плотности Земли ρ B \rho_B . Для Меркурия минимальное время облета составит 1.42 часа. Мы можем определить, на какой высоте над поверхностью Земли проходит орбита, соответствующая приповерхностной орбите вокруг Меркурия:

( R B + h B ) 3 ρ A R B 3 ρ B = 1 ; h B = R B ( ρ B ρ A 3 − 1 ) = 35  км. tag 2 \frac{(R_B + h_B)^3 \rho_A}{R_B^3 \rho_B} = 1; \quad h_B = R_B \left( \sqrt[3]{\frac{\rho_B}{\rho_A}} - 1 \right) = 35 \text{ км.} \tag{2}

Эта высота соответствует плотным слоям земной атмосферы, очевидно, что совершить там полет по орбите без включенных двигателей невозможно. Поэтому время облета Меркурия T A T_{\rm A} меньше времени облета Земли T B T_{\rm B} (последнее для высоты 150 км составляет 1.46 часа). Аналогичная ситуация складывается для Каллисто и Титана. Средняя плотность Титана ρ D \rho_{\rm D} чуть выше средней плотности Каллисто ρ C \rho_{\rm C} , но у Титана есть атмосфера, а у Каллисто – нет. Поэтому Каллисто можно облететь над поверхностью, потратив на это 2.44 часа. Высота орбиты над поверхностью Титана, для которой орбитальный перелет пройдет с тем же периодом, что у поверхности Каллисто, равна

h D = R D ( ρ D ρ C 3 − 1 ) = 23  км. tag 3 h_D = R_D \left( \sqrt[3]{\frac{\rho_D}{\rho_C}} - 1 \right) = 23 \text{ км.} \tag{3}

Это также меньше толщины атмосферы Титана. На высоте 300 км над его поверхностью орбитальный период составляет 2.84 часа. Итак, четыре тела Солнечной системы в задании располагаются в порядке: А, В, С, D. Нам остается решить вопрос с черной дырой в центре

галактики M87. Определим среднюю плотность вещества внутри сферы с радиусом R E R_E =3 R G R_G (три гравитационных радиуса черной дыры):

ρ E = 3 M E 4 π R E 3 = M E 36 π R G 3 = c 6 72 π G 3 M E 2 = 2.7  kg/m 3. \rho_E = \frac{3M_E}{4\pi R_E^3} = \frac{M_E}{36\pi R_G^3} = \frac{c^6}{72\pi G^3 M_E^2} = 2.7 \text{ kg/m}^3.

Это существенно меньше плотностей четырех тел Солнечной системы, указанных в условии. Время перелета вокруг черной дыры составит около 330 часов (если определять его по законам классической физики), что в 100 с лишним раз больше времени облета всех других четырех тел, упомянутых в задании. В реальности, учет релятивистских факторов несколько изменит это время (незначительно, причем по-разному для внешней системы отсчета и по часам тела, двигающегося вокруг черной дыры), оставляя его заведомо большим периода облета Каллисто и Титана и тем самым не влияя на ответ в данной залаче.

Критерии

Показать критерии

Алгоритм оценивания базируется на вычислении количества правильных пар в ответе участника и аналогичен заданию 2.