ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 1

Автор: В.М. Бабин

АстрономияРегиональный9 класс2024Есть решение редакция rv_7d5db8d73d21f275 ID p_dfeee70d49999769
Предложить исправление

В одной из серий мультсериала «Футурама» главные герои во время визита на Луну попали в сложные обстоятельства. Оказавшись на дневной стороне Луны, они заметили стремительно приближающийся терминатор линию раздела дня и ночи. Так как герои боялись, что на ночной стороне Луны они замерзнут, то им не оставалось ничего, как убегать от терминатора. Два путешественника, расположенные на одном меридиане Луны в 100 км друг от друга, бегут каждый вдоль своей параллели, все время оставаясь на терминаторе. При этом один из них бежит на 0.10 м/с быстрее, чем другой. Определите широты двух путешественников. Рельеф Луны не учитывать, Солнце находится в плоскости экватора Луны

Решение

Показать решение

Солнечные сутки на Луне равны синодическому периоду обращения Луны S = 29.53 суток. Поэтому скорость движения терминатора по поверхности Луны на широте ф выражается следующим образом:

v = 2 π R cos φ S . v = \frac{2\pi R \cos \varphi}{S} \ .

Здесь R — радиус Луны. Пусть один путешественник находится в северном полушарии ближе к лунному экватору, на широте φ \varphi и движется со скоростью v. Второй находится на широте φ \varphi + Δ φ \Delta \varphi . При этом мы знаем величину Δ φ \Delta \varphi , она равна L/R (примерно 0.06 радиан или 3°, хотя это численное значение нам далее не понадобится). Здесь L — расстояние между путешественниками. Обратим внимание, что этот угол маленький, что дает нам возможность пользоваться столь простым соотношением. Скорость второго путешественника меньше на величину Δ v \Delta v , которая нам также известна. Тогда мы получаем

v − Δ v = 2 π R cos ( φ + Δ φ ) S = 2 π R cos φ S − 2 π R sin φ Δ φ S . v - \Delta v = \frac{2\pi R \cos(\varphi + \Delta \varphi)}{S} = \frac{2\pi R \cos \varphi}{S} - \frac{2\pi R \sin \varphi \Delta \varphi}{S}.

Подставляя первую формулу решения во вторую, имеем

Δ v = 2 π R sin ϕ Δ ϕ S ; ϕ = arcsin Δ v ⋅ S 2 π R Δ ϕ = arcsin Δ v ⋅ S 2 π L = 24 ∘ . \Delta v = \frac{2\pi R \sin \phi \Delta \phi}{S}; \quad \phi = \arcsin \frac{\Delta v \cdot S}{2\pi R \Delta \phi} = \arcsin \frac{\Delta v \cdot S}{2\pi L} = 24^{\circ}.

Обратите внимание, что полученная широта оказалась независящей от радиуса Луны. Второй путешественник находится на широте 27 ∘ 27^{\circ} . Очевидно, у задачи есть второе решение с широтами − 24 ∘ -24^{\circ} и − 27 ∘ -27^{\circ} , которое также нужно назвать. Но вот в разных полушариях (один – в северном, один – в южном) путешественники быть не могут, так как тогда их широты будут не больше 3 ∘ 3^{\circ} по модулю, а разница скоростей не будет превосходить 0.01 м/с. Мы получили неплохое приближенное решение. Точные ответы, не требуемые от участников, составляют 22.3 ∘ 22.3^{\circ} и 25.6 ∘ 25.6^{\circ} по модулю широты. Скорости бега при этом составят 3.96 и 3.86 м/с соответственно.