ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 3

Автор: А. В. Веселова

АстрономияРегиональный9 класс2023Есть решение редакция rv_0e5e5cc33a2b729c ID p_e1d8044a93e65cc7
Предложить исправление

В момент наибольшей восточной квадратуры для земного наблюдателя лучевая скорость астероида составила +20 км/с. Определите радиус орбиты астероида, считая её круговой и лежащей в плоскости эклиптики. Направления вращения Земли и астероида совпадают.

Решение

Показать решение

Лучевая скорость астероида положительна, то есть для земного наблюдателя астероид удаляется от Земли. Для определения лучевой скорости астероида V r V_{\rm r} следует учесть проекции на луч зрения скорости как астероида V, так и наблюдателя, то есть скорость Земли V ⊕ V_{\oplus} . В момент квадратуры полная скорость Земли направлена вдоль луча зрения, от скорости астероида необходимо взять компоненту вдоль луча зрения:

V r = V ⊕ − V cos ( 90 ∘ − θ ) = V ⊕ − V sin θ . V_{\rm r} = V_{\oplus} - V \cos(90^{\circ} - \theta) = V_{\oplus} - V \sin \theta.

Здесь θ \theta – угол при астероиде между направлением на Солнце и на Землю. Из рисунка

sin θ = a ⊕ r , \sin\theta = \frac{a_{\oplus}}{r},

где r и a ⊕ a_{\oplus} – радиусы орбиты астероида и Земли соответственно.

Также заметим, что на круговой орбите скорость обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты:

V = G M ⊙ r , V = V ⊕ ⋅ a ⊕ r . V = \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{r}}, \qquad V = V_{\oplus} \cdot \sqrt{\frac{a_{\oplus}}{r}}.

Подстановка этих выражений в выражение для лучевой скорости даёт соотношение

V r = V ⊕ − V ⊕ ⋅ a ⊕ r ⋅ a ⊕ r = V ⊕ ⋅ ( 1 − ( a ⊕ r ) 3 / 2 ) . V_{r} = V_{\oplus} - V_{\oplus} \cdot \sqrt{\frac{a_{\oplus}}{r}} \cdot \frac{a_{\oplus}}{r} = V_{\oplus} \cdot \left(1 - \left(\frac{a_{\oplus}}{r}\right)^{3/2}\right).

Обозначим κ = a ⊕ / r \kappa = \sqrt{a_{\oplus}/r} , тогда уравнение для лучевой скорости примет вид

V r V ⊕ = 1 − κ 3. \frac{V_{\rm r}}{V_{\oplus}} = 1 - \kappa^3.

Отсюда находим величину к:

κ = 1 − V r V ⊕ 3 = 1 − 20 30 3 = 0.69. \kappa = \sqrt[3]{1 - \frac{V_{\rm r}}{V_{\oplus}}} = \sqrt[3]{1 - \frac{20}{30}} = 0.69.

Следовательно, r = a ⊕ / κ 2 = 2.1 r = a_{\oplus} / \kappa^2 = 2.1 a.e.