9.3 Задача о максимумах

Ответ. Астероид может провести не более 0.7 года ближе к Земле, чем к Солнцу.

Решение. Определим параметры орбиты астероида. Изначально неизвестно, является он внутренним или внешним, поэтому проверим оба варианта.

Расстояние между Землей и астероидом максимально, если они находятся на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него. Если a — радиус орбиты астероида, а $a_{\oplus}$ — радиус орбиты Земли, то максимальное расстояние $r_{\max} = a_{\oplus} + a$ .

Минимальное расстояние достигается, когда астероид и Земля также находятся на одной линии с Солнцем но по одну сторону от него: $r_{\min} = |a_{\oplus} - a|$ . Здесь мы записали модуль, поскольку есть два варианта расположения астероида: между Землей и Солнцем или по другую сторону относительно Земли. Тогда

Если астероид внешний, то

Если астероид внутренний, то

Расстояние астероида от Солнца постоянно, а расстояние от Земли меняется непрерывно. Рассмотрим случай внешнего астероида. Перейдем в систему отсчета, в которой покоится отрезок Солнце — Земля и проведем окружность радиуса $a_{\rm out}$ с центром в Земле. На том участке орбиты, которая попала внутрь этой окружности, астероид располагается ближе к Земле, чем к Солнцу (см. рисунок). Когда же астероид находится вне этой окружности, он располагается ближе к Солнцу, чем к Земле.

В выбранной системе отсчета астероид двигается по круговой орбите радиуса $a_{\rm out}$ с синодическим периодом $S_{\rm out}$ . Поскольку сидерический период астероида равен $T_{\rm out}=a_{\rm out}^{3/2}\approx 2.41\,{\rm года}$ , то его синодический период равен

Искомое время так же соотносится с синодическим периодом, как длина дуги орбиты астероида, попавшая внутрь очерченной вокруг Земли окружности, ко всей длине орбиты:

Закрыть

Закрыть

Определим угол $\alpha$ . Рассмотрим треугольник Земля — Солнце — T, где T — точка удаленная на расстояние $a_{\text{out}}$ от Земли и Солнца. Этот треугольник равнобедренный. Опустим высоту (она же медиана) из точки T на сторону Земля — Солнце. Получим прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами. Тогда

В итоге получаем искомое время

Решение для случая астероида на внутренней орбите производится по такой же схеме (см. рисунок). Такой астероид движется с сидерическим периодом $T_{\rm in} \approx 0.41\,{\rm годa}$ , синодическим периодом $S_{\rm in} \approx 0.71\,{\rm годa}$ . Угол $\beta = 25.8^{\circ}$ , откуда промежуток времени

Замечание. Использование округленного значения $a_{\rm in}$ вместо точного приводит к значению $\beta=26.8^{\circ}$ , что никак не влияет на конечный результат.

Стоит отметить, что при обратном вращении астероида вокруг Солнца его синодический период меньше, чем для прямого вращения, а значит, на тех же орбитах он будет проводить меньше времени непрерывно ближе к Земле, чем к Солнцу.