10.8 Игра в прятки

Автор: В. Б. Игнатьев

Астрономия Региональный 10 класс 2026 Есть решение редакция rv_3c3e1a20d5356983 ID p_ef062e3c8dfb3a24

Два раза за 12 лет в системе галилеевских спутников Юпитера появляется возможность затмения одного спутника другим. Определите максимально возможное изменение блеска Каллисто из-за этого эффекта. Воспользуйтесь приближением геометрической оптики.

Влиянием атмосфер спутников можно пренебречь. Считайте, что отражательная способность не зависит от угла падения. Из-за большого удаления Юпитера от Солнца фазы планеты и спутников можно считать равными 1. Орбиты Земли, Юпитера и всех спутников считайте круговыми. Экваториальный радиус Юпитера равен 71.5 тыс. км.

Спутник	Полуось орбиты	Диаметр спутника
Ио	421 800 км	3 640 км
Европа	671 100 км	3 120 км
Ганимед	1 070 400 км	5 270 км
Каллисто	1 882 700 км	4 820 км

Решение

Показать решение

Решение.

Данное явление возможно два раза за звездный (сидерический) период Юпитера, когда направление «Солнце – Юпитер» совпадает с плоскостью экватора и плоскостью орбит галилеевских спутников. Возникает ситуация, в чем-то аналогичная земному равноденствию.

Отсюда сразу можно получить величину радиуса орбиты Юпитера, которая непосредственно не дана в условиях.

a_{7} = 12^{2/3} = 5.2 \text{ a.e.}

Калисто – самый далекий от Юпитера из всех галилеевских спутников. Для максимизации эффекта нам нужно найти условие, при котором размер тени на поверхности Каллисто от другого спутника максимален. Для этого нам нужен

A. самый большой по размеру спутник,
B. спутник, максимально близко расположенный к Каллисто.

Тут отлично подойдет Ганимед, так как он обладает наибольшим размером, и при этом он может быть ближе всех к Каллисто. Кроме этого, нам нужно учесть, что расположение объектов на одной линии в порядке «Солнце – Земля – Юпитер – Ганимед – Каллисто» в рамках задачи невозможно, так как в этом случае за Юпитером мы не увидим его спутники, а в условии задачи не сказано, что размерами Юпитера можно пренебречь.

1 этап. Определим радиус тени Ганимеда на удалении :

Расстояние между Солнцем и Ганимедом с большой точностью равно радиусу орбиты Юпитера. Обозначим за величину x длину конуса тени от спутника, а за l – расстояние между спутниками.

\frac{R_{\odot}}{a_{1} + x} = \frac{R_{G}}{x}

Отсюда

x = a_{7} \frac{R_G}{R_{\odot} - R_G}

Также мы можем записать выражение для радиуса тени $R_T$ :

\frac{R_T}{x-l} = \frac{R_G}{x}

R_T = R_G \frac{x - l}{x}

2 этап. Определение расстояния между спутниками.

Важно отметить, что нам нужно, чтобы Каллисто оказался в тени Ганимеда, но при этом не попал в тень Юпитера, и при этом нас интересует ситуация минимального расстояния между спутниками. Поэтому линия «Солнце — Ганимед — Каллисто» должна касаться границы Юпитера. Действительно, в этом случае расстояние между двумя спутниками будет минимально, а следовательно, размер тени будет максимальным.

Обозначим точкой O центр Юпитера, точкой K – Каллисто, точкой G – Ганимед. Линия KO' – касательная к поверхности Юпитера с Каллисто, при этом Ганимед также находится на этой касательной.

Заметим, что треугольники OO'K и OO'G – прямоугольные из-за соответствующего свойства касательной.

O'K = \sqrt{a_k^2 - R_{\gamma_+}^2}

O'G = \sqrt{a_G^2 - R_{\uparrow\downarrow}^2}

Разность между этими двумя расстояниями равна l:

l = \sqrt{a_k^2 - R_{2+}^2} - \sqrt{a_G^2 - R_{2+}^2}

Этап 3. Определим численные значения расстояния и радиуса тени.

l = \sqrt{1882700^2 - 71500^2} - \sqrt{1070400^2 - 71500^2} = 831300 \text{ km}

Полученная величина всего на тысячу километров больше, чем разница полуосей орбит Каллисто и Ганимеда.

Длина конуса тени

x = a_{7} + \frac{R_G}{R_{\odot} - R_G} = 5.2 \cdot 1.5 \cdot 10^8 \text{ км} \frac{2635 \text{ км}}{700000 - 2635} = 2947200 \text{ км}

R_T = 2635 \text{ км} \frac{2947200 - 831300}{2947200} = 1910 \text{ км}^1

Этап 4. Теперь рассчитаем фотометрию ситуации.

\Delta m = m - m_0 = -2.5 \lg \frac{E_{\text{3aTM}}}{E_0}

Здесь ⁰ – освещенность от Каллисто без затмения, затм – освещенность от Каллисто, когда часть его диска закрыта Ганимедом. ⁰ – видимая звездная величина Каллисто вне затмения, – видимая звездная величина в момент затмения.

Во время затмения не вся поверхность Каллисто отражает свет. Поэтому освещенность от спутника будет меньше на величину

E_{3\text{aTM}} = E_0 \frac{S - S_T}{S}

¹ стоит отметить, что и в модели «прозрачного Юпитера» ответ численно будет такой же, но сама модель астрономически не корректна.

Выразим площадь тени через радиусы:

\Delta m = -2.5 \lg(1 - \frac{R_{\rm T}^2}{R_c^2})

Теперь осталось только подставить значения:

\Delta m = -2.5 \lg(1 - \frac{1908^2}{2410^2}) = -2.5 \lg(0.373) = 1.07^m

Ответ: ∆ = 1.07

Критерии

Показать критерии

	Критерии оценивания.	16
К1.	Определение радиуса орбиты Юпитера	1
К2.	Четкое обоснование выбора Ганимеда как тела, создающего максимальную тень	2
К3.	Определение расстояния от Ганимеда до Каллисто	4
	Решение с моделью, в которой Ганимед, Каллисто, Юпитер и Солнце находятся на одной
	линии в указанном порядке (спутники не видны с Земли), оценивается по этому критерию
	в 1 балл. В остальных критериях оценка за эту модель не снижается.
К4.	Определение размера тени Ганимеда на Каллисто4
К5.	Определение падения блеска Каллисто	5
	∆𝑚 Получение формулы для через отношение радиусов 2
	Получение верного численного ответа для величины падения блеска3
	Если участник рассматривает не Ганимед, а другой из спутников, то максимальная оценка
	при верных расчётах может составлять 1 + 0 + 2 + 2 + 1 = 8 баллов.

Подборка

10.8 Игра в прятки

Решение

Решение.

Критерии