ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

Автор: О.С. Угольников

АстрономияРегиональный9 класс2019Есть решение редакция rv_b89b17962dd3772d ID p_f068cebd6fb205f0
Предложить исправление

Астроном наблюдает прохождение геостационарного спутника Земли по диаметру диска Луны. Какова может быть длительность такого явления? Орбиту Луны считать круговой и лежащей в плоскости экватора Земли.

Решение

Показать решение

Проще всего решить эту задачу, вспомнив, что геостационарный спутник обращается вокруг Земли с тем же периодом, что и сама Земля вокруг своей оси, и видимое положение спутника при наблюдении с поверхности Земли не изменяется. Поэтому достаточно определить, за какое время диск Луны в своем видимом движении по небу Земли пройдет угловое расстояние, равное своему диаметру. Если бы Луна не перемещалась на небе относительно звезд, то ее угловая скорость относительно спутника и земных объектов была бы равна угловой скорости вращения Земли (и геостационарного спутника):

ω 0 = 360 ∘ T ≈ 15 ∘ / чч \omega_0 = \frac{360^{\circ}}{T} \approx 15^{\circ}/\text{чч}

Здесь T — период осевого вращения Земли (23ч56м). Приближенное значение длительности прохождения спутника составит

t 0 = δ ω 0 = T δ 360 ∘ = 2.07  мин. t_0 = \frac{\delta}{\omega_0} = \frac{T \, \delta}{360^{\circ}} = 2.07 \, \text{ мин.}

Здесь δ \delta – угловой диаметр Луны (0.518°). Сейчас получена лишь приближенная величина. В реальности, Луна обращается вокруг Земли по орбите с угловой скоростью

Ω = 360 ∘ S ≈ 0.55 ∘ / 4 \Omega = \frac{360^{\circ}}{S} \approx 0.55^{\circ}/4

Здесь S — сидерический период Луны. Мы пренебрегаем углом наклона орбиты Луны к экватору и считаем скорости сонаправленными. С учетом этого, мы можем получить более точное выражение для продолжительности прохода спутника перед диском Луны:

t = δ ω 0 − Ω = 2.14  мин. t = \frac{\delta}{\omega_0 - \Omega} = 2.14 \text{ мин.}

Это уже достаточно точная оценка. Можно также учесть, что если дело происходит на экваторе, и Луна располагается в зените, то за счет осевого вращения Земли ее видимая угловая скорость уменьшается до величины

Ω Z = v − V L − R = L ⋅ Ω − R ⋅ ω 0 L − R ≈ 0.31 ∘ / v \Omega_Z = \frac{v - V}{L - R} = \frac{L \cdot \Omega - R \cdot \omega_0}{L - R} \approx 0.31^{\circ} / v

Здесь v — орбитальная скорость Луны, V — скорость точки экватора Земли, L — расстояние до Луны, R — радиус Земли. За счет уменьшения угловой скорости Луны перемещение спутника по ее диску будет происходить быстрее. Но угловой диаметр Луны δ Z \delta_Z в этом случае увеличивается до

δ Z = δ ⋅ L L − R = 0.527 ∘ . \delta_Z = \frac{\delta \cdot L}{L - R} = 0.527^{\circ}.

Продолжительность явления в зените составляет

t Z = δ Z ω 0 − Ω Z = δ ⋅ L L − R ⋅ L − R ( ω 0 − Ω ) ⋅ L = δ ω 0 − Ω = t . t_Z = \frac{\delta_Z}{\omega_0 - \Omega_Z} = \frac{\delta \cdot L}{L - R} \cdot \frac{L - R}{(\omega_0 - \Omega) \cdot L} = \frac{\delta}{\omega_0 - \Omega} = t.

Можно показать, что эта величина вообще не зависит от высоты Луны над горизонтом во время явления.

2. Система оценивания. Решение задачи можно вести с точки зрения наблюдателя на поверхности Земли, для которого геостационарный спутник будет соответствовать неподвижной точке неба, через которую проходит диск Луны. Можно решать задачу более классическим способом, вычисляя угловые скорости Луны и спутника относительно звезд. В обоих случаях, выполнение задачи в пренебрежении угловым перемещением Луны оценивается в 5 баллов, возможен округленный вариант ответа: 2 минуты. Учет угловой скорости Луны как постоянной величины ( Ω \Omega в решении выше) и получение ответа с точностью до 0.1 минуты достаточен для выставления максимальной оценки в 8 баллов.

Участник олимпиады может также учесть приближение к Луне точки экватора и изменение ее угловой скорости, что при условии правильного выполнения не меняет окончательный ответ и оценку. Если же учтен только один фактор (только приближение наблюдателя к Луне или только изменение ее угловой скорости), то ответ меняется примерно на 0.1 минуты, а оценка снижается на 2 балла.