ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 2

Автор: А.В. Веселова

АстрономияРегиональныйКлассы неизвестны2024Есть решение редакция rv_65810573815e697c ID p_f639c3f55a1e2c64
Предложить исправление
  • 2. Условие. В текущий момент модуль разности гелиоцентрических долгот Земли и астероида составляет 90°. Сколько времени пройдет до западной квадратуры астероида, если текущее расстояние от Земли до астероида в 1.29 раза превышает расстояние между ними в момент квадратуры? Орбиты Земли и астероида считать круговыми и лежащими в одной плоскости, движение астероида происходит в том же направлении, что и движение Земли

Решение

Показать решение
  • 2. Решение. В условии не сказано напрямую, как именно относительно Земли расположен астероид – обгоняет или отстает в своем движении по орбите. Поэтому потребуется рассмотреть оба варианта расположения объектов.

Пусть a – радиус орбиты астероида, a0 – радиус земной орбиты. Рисунок построен в системе отсчета, вращающейся вместе с астероидом, то есть он там неподвижен, а Земля догоняет его в своем вращении. Пусть астероид обгоняет Землю (положение 1), тогда западная квадратура наступит вскоре по ходу синодического периода, до противостояния астероида.

Расстояние до астероида в момент, когда разность гелиоцентрических долгот, то есть угол с центром в Солнце между направлениями на Землю и астероид, равен 90 ∘ 90^{\circ} , вычисляем по теореме Пифагора:

r = a 2 + a 0 2 . r=\sqrt{a^2+a_0^2}.

Расстояние в западной квадратуре будет равно

l = a 2 − a 0 2 . l = \sqrt{a^2 - a_0^2}.

Отношение расстояний есть

a 2 + a 0 2 a 2 − a 0 2 = 1.29. \frac{\sqrt{a^2 + a_0^2}}{\sqrt{a^2 - a_0^2}} = 1.29.

Отсюда выразим радиус орбиты астероида:

a 2 = 1.29 2 + 1 1.29 2 − 1 ; a = 1.29 2 + 1 1.29 2 − 1 = 2.00  a.e. a^2 = \frac{1.29^2 + 1}{1.29^2 - 1}; \quad a = \sqrt{\frac{1.29^2 + 1}{1.29^2 - 1}} = 2.00 \text{ a.e.}

Оценим синодический период астероида:

S = T T 0 T − T 0 = 2 1.5 ⋅ 1 2 1.5 − 1 = 1.55  лет. S = \frac{TT_0}{T - T_0} = \frac{2^{1.5} \cdot 1}{2^{1.5} - 1} = 1.55 \text{ лет.}

Определим, на какой угол должна уменьшиться разница гелиоцентрических долгот астероида и Земли (или на какой угол в системе отсчета астероида должна повернуться Земля):

γ = 90 ∘ − arccos a 0 a = 30 ∘ . \gamma = 90^{\circ} - \arccos \frac{a_0}{a} = 30^{\circ}.

Время, которое потребуется для прохождения данного угла, есть 1/12 синодического периода и составит 0.13 года.

Теперь предположим, что астероид отстает от Земли по долготе. Тогда разность долгот должна измениться на 180 ∘ + 30 ∘ = 210 ∘ 180^{\circ}+30^{\circ}=210^{\circ} , и на это потребуется 7/12 синодического периода или 0.90 лет.