ProblemSet

Подборка

Подборки хранятся в этом браузере без учётной записи. Для них нужен включённый JavaScript.

Задача 6

Автор: А. А. Автаева

АстрономияРегиональный10 класс2023Есть решение редакция rv_0bf8267269387e02 ID p_fa9a344524657191
Предложить исправление

В романе Александра Дюма «Граф Монте-Кристо» Эдмон Дантес четырнадцать лет просидел в одной темнице в Замке Иф (на схеме темница под номером 4) высотой 3 метра. В этой камере для света было только маленькое окошко-бойница, размером 70 см в высоту и 20 см в ширину, которое сужается к внешней части стены до высоты 30 см и ширины 10 см. Окно находится ровно посередине внешней стены под самым потолком, оно симметрично по ширине, верхняя грань окна строго горизонтальная. В определенный момент Эдмон, чтобы не сойти с ума, начал наблюдать за звездами из окна. Оцените, сколько всего звезд на небе мог наблюдать Эдмон из своей камеры. Дантес имел рост 180 см и был настолько истощен, что прыгать или подтягиваться он не мог. Толщина внешних стен Замка Иф 1.5 м. Считайте распределение звезд по небу равномерным, Эдмон Дантес может видеть звезды до 6m . Широта Замка Иф – 43° с. ш.

Решение

Показать решение

На рисунке нам не даны размеры камеры, но в условии указана толщина наружной стены. Воспользуемся ей для определения масштаба рисунка и размеров камеры.

Найдем, на каких высотах Дантес мог видеть звезды в окошко. Так как нужна оценка, то пренебрежем разницей между положением макушки и глаз Дантеса. Не стоит забывать, что ходить по камере, а также садиться или ложиться на пол, ему никто не запрещал.

Максимально возможная высота h 1 h_1 соответствует тому случаю, когда луч зрения проходит через нижний край оконного проема на внутренней стороне стены (точка C) и верхний край на внешней стороне (точка A). Из рисунка

h 1 = arctan ( 0.7 1.5 ) = 25 ∘ , h_1 = \arctan\left(\frac{0.7}{1.5}\right) = 25^{\circ},

Можем убедиться, что Дантес вообще видел звезды из окна. Для этого ему необходимо было располагаться на расстоянии l 1 = ( 2.3 − 1.8 ) / operatorname t g h 1 = 0.5 / ( 0.7 / 1.5 ) ≈ 1 m l_1 = (2.3-1.8)/ \operatorname{tg} h_1 = 0.5/(0.7/1.5) \approx 1 \, \mathrm{m} , что меньше 3 метров до противоположной стены.

Стоя у дальней от окна стены Эдмон мог видеть звезды на минимальной высоте. Для того, чтобы определить эту высоту, необходимо выяснить, верхняя оконечность какой части стены, внутренней или наружной, закрывала ему обзор. Для этого определим, на каком расстоянии от окна луч ВС, проходящий вдоль нижней границы окна, может попасть в глаз узника:

l 2 = ( 2.3 − 1.8 ) / tg  h 2 = 0.5 ⋅ 1.5 / 0.4 ≈ 1.9  m . l_2 = (2.3 - 1.8) / \text{tg } h_2 = 0.5 \cdot 1.5 / 0.4 \approx 1.9 \text{ m}.

Это расстояние меньше 3 метров, а значит нижняя часть поля зрения ограничена нижней границей внешней части оконного проема В. Тогда минимальная высота объектов, доступных для наблюдения, равна

h 3 = operatorname a r c t g ( 0.4 + 0.5 1.5 + 3 ) ≈ 11.3 ∘ . h_3 = \operatorname{arctg}\left(\frac{0.4 + 0.5}{1.5 + 3}\right) \approx 11.3 \,^{\circ}.

В принципе, Дантес мог смотреть не только на звезды на меридиане, но и немного вбок. Оценим доступные для его обзора азимуты: λ = arctan ( 15 / 150 ) = 5.7 ∘ \lambda = \arctan(15 / 150) = 5.7^{\circ} . Это очень небольшая величина. Внешняя сторона камеры 4, как и окно, выходит ровно на юг, поэтому считаем, что все, что наблюдается, находится вблизи верхней кульминации, так как замок Иф находится в северном полушарии Земли. Вблизи меридиана круги склонения примерно параллельны горизонту, хотя

и постепенно опускаются вниз. Взгляд «сбоку» через окно уменьшает как максимально возможную, так и минимально возможную высоты наблюдения, но эти изменения столь незначительны, что ими можно пренебречь.

Теперь найдем склонения звезд, доступных для наблюдения. Небесный экватор находится на высоте h 0 = 90 ∘ − ϕ = 47 ∘ h_0 = 90^\circ - \phi = 47^\circ . Склонения звезд в верхней кульминации можно определить с помощью формулы

δ = h + φ − 90 ∘ . \delta = h + \varphi - 90^{\circ}.

Следовательно, на максимальной высоте h 1 h_1 Дантес мог видеть звезды со склонениями

δ max = h 1 + φ − 90 ∘ = − 22 ∘ \delta_{\text{max}} = h_1 + \varphi - 90^{\circ} = -22^{\circ}

а на минимальной высоте h 3 h_3 – звезды со склонениями

δ min = h 3 + φ − 90 ∘ = − 35.7 ∘ . \delta_{\min} = h_3 + \varphi - 90^{\circ} = -35.7^{\circ}.

В результате Дантес видел звезды в полосе небесной сферы, ограниченной склонениями δ m i n \delta_{min} и δ m a x \delta_{max} .

Площадь сферического пояса можно вычислить с помощью формулы S = 2 π R H S=2\pi RH , где R – радиус сферы, H – высота сферического пояса. Высоту пояса можно выразить как H=R sin δ \delta . Видимая Дантесом полоса является разностью двух сферических поясов, ограниченных склонениями δ min \delta_{\min} и δ max \delta_{\max} . Площадь этой полосы получается равной

S = 2 π R 2 ⋅ ( sin δ max − sin δ min ) , S = 2\pi R^2 \cdot \left(\sin \delta_{\max} - \sin \delta_{\min}\right),\,

что в долях площади небесной сферы составит

R = 2 π R 2 ( sin δ max − sin δ min ) 4 π R 2 ≈ 0.1045. R = \frac{2 \pi R^{2} \left( \sin \delta_{\text{max}} - \sin \delta_{\text{min}} \right)}{4 \pi R^{2}} \approx 0.1045.

На всем небе около 6000 звезд ярче 6m , поэтому

N=6000*⋅* 0.1045*≈* 627 звезд.